教学，让增值发生

周卫东

摘要：增值，不仅可以体现在教育的宏观层，同样也适用于中观层与微观层;“增值”一词不仅适用于本来属于的教育评价层，也适用于各门学科的教学策略层。就小学数学教学而言，教学增值还没有引起太多的关注，尚存在许多可以深入研究、有所作为的空间。具体而言，可通过延展，让未来知识之光“透”进来;通过接纳，使潜在信息之魂“显”出来;通过追溯，把当下内容之源“掘”出来。

关键词：增值延展知识接纳信息追溯内容增值，即价格上涨或价值增长，属于经济学概念，是指经济投入与产出之间的量。

在教育领域，学者对增值的概念尚未有统一的认识，现主要有两种观点。一是“成绩说”：增值是指学生成绩的提高，如学者特克维提出，增值测量单个学生连年知识的进步，并据此作为效能评价系统的基础;二是“全面说”：增值是指学生多元智能发展，若仅考虑成绩提高则窄化了教育效能的覆盖面，如学者张亮认为，教育效能指学生在学力、生活与职业、情感、社会性发展等方面进步发展和成长转化的幅度。

在我看来，“全面说”更能表达教育的核心追求，是对教育投入与产出期望值之间关系的“完整”理解。增值，不仅可以体现在教育的宏观层，同样也适用于中观层与微观层;“增值”一词不仅适用于本来属于的教育评价层，也适用于各学科的教学策略层。

就小学数学教学而言，教学增值还没有引起太多的关注，尚存在许多可以深入研究、有所作为的空间。

比如，“重浅表，轻深究”。只满足基础性目标的达成，无视儿童学习的可能性，教学缺乏发展性和未来观。

比如，“重硬件，轻软件”。在重视知识、技能等知识“硬件”的同时，对隐含在知识内部的“软件”（思想、策略、着眼点等）无知无觉，使数学教学呈现出“瘫”着而“立”不起来的状态。

比如，“重当下，轻过往”。最突出的表现就是“掐头去尾烧中段”，只对眼前的教学负责，对知识“从哪里来”“往何处去”很少有人去关注和思考。

……

基于以上认知，我认为，追求增值，是数学教学的应然追求。

一、延展：让未来知识之光“透”进来

这是一节我执教过的公开课《平行四边形的面积》——

“平行四边形的面积”是一个经典的教学内容，很多同行喜欢研究它，展示它。但通过大量对比发现，这些课例，对于学生因负迁移所带来的“用相邻的两条边相乘”的“前概念”，要么“视而不见”，要么“蜻蜓点水”，因而也错失了引领学生进一步发展的宝贵资源与可贵机会。其实，这一内容包含着极佳的教学延展机会。善教者，应该抓住契机，顺势而为，引领学生步入知识的纵深地带。

教学的最后一个板块，我围绕“怎么理解邻边相乘这一种算法？”这一大问题，将学生的学习引入深处。步骤如下：

（1）引疑。通过刚刚的学习，我们已经知道了平行四边形的面積是用底和高相乘，用相邻的两条边相乘是不对的。那用相邻的两条边相乘算的是什么呢？学生思考、想象后明白：是因为受长方形面积公式的负迁移，算得的不是平行四边形的面积，而是以底为长、邻边为宽的长方形的面积（如图1所示）。

（2）引思。这时的平行四边形的面积与长方形的面积一样大吗？如果不一样大，谁更大一些呢？学生通过割补、平移等方法得出结论：长方形的面积更大一些。

（3）支持。随后，通过“几何画板”软件，把长方形再拉伸为平行四边形，动态展示变化过程，让学生充分感受其中的变化，明晰其中的原理：在逐渐拉伸时，面积之所以逐渐变小，是因为在底不变的前提下，高在不断变短，高之所以逐渐变短，是因为高所对应的夹角在不断变小;在底不变的前提下，面积的变化，不仅跟高的变化有关，也与高所对应的夹角有关（如图2所示）。

（4）渗透。未学过平行四边形面积计算方法之前，部分同学想到用相邻的两条边相乘，现在知道这种算法是不对的。我与大家分享，以前的想法没有全错，只不过在相邻两条边相乘时还要考虑第三个因素，即再乘以一个系数。中学数学里，这是用一个计算公式S=absin θ表达的。

德国著名数学教育家克莱因在《高观点下的初等数学（二）》里写道：“基础数学的教师应该站在更高的视角来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了简单;一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学演化的经过。”“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解。”长期以来，在学段设定上，小学与中学各自为政，彼此分割;在教学目标上，习惯于把教学内容分成若干小块，每一课时都有既定的、类似于“网格”的目标;在教学过程中，师生“小步子慢慢走”，亦步亦趋，不敢越雷池半步。这样的教学，固然有着相对固定的教学内容、可以测评的教学目标，也取得了明显的教学成效;但置身于学习场域中的个体，其学习是一个完整的、动态的、鲜活的连续过程，过度拘囿于学段、拘泥于目标以及拘谨于教学，对学生学习的长效发展、长程发展和长远发展都是颇为不利的。

为了实现增值，我们不妨开阔视野，在一段相对较长的时间轴上设定更为弹性的教学目标，敢于“捅破”阻挡在学生面前那一层薄薄的“窗户纸”，让未来的知识之光“透”进来，让他们在哪怕是星星点点的光亮中建立起相对完整的知识体系，更清晰地感受到数学世界的美好。

二、接纳：使潜在信息之魂“显”出来

这是我观摩到的一节公开课《组合图形的面积》——教师先放手让学生独立完成任务，然后全班交流。再给黑板上呈现出的学生作品分类：一类是用加法思路的，另一类是用减法思路的。就在教师引导学生准备进入下一个教学环节时，A同学举手发言，说还有一种方法。他把作品放在实物展台上，给大家介绍：“（指图3）我先在中间横着画一条线，把组合图形分成两部分，然后在这条线上任意打一个点，把这个点与图形的右上与右下两个顶点连起来。这时整个图形便被分成了三部分，两个梯形和一个三角形，最后再把三个图形的面积加起来。”这位学生发言后本以为可以得到同学们的赞扬，没想到许多学生不耐烦地说：“你这个方法不就是刚刚我们总结出的加法思路吗？你应该注意倾听。”“还有，你在横着的这条线上任意打一个点，这条线上有无数个这样的点，如果我们都像你这样研究，什么时候才能研究完呢？”在同伴们不留情面的评价中，学生沮丧地回到了自己的座位上。

A同学的方法（三分法）显然“笨”了些，但执教教师显然洞察到这种“笨”方法中蕴含着难得的思想之光。她这样引导：孩子，你的方法虽然有些麻烦，但这种方法的背后有我们不容易看出的闪光点，让我们一起来感受。在全班学生完全认同后，把“任意打的那个点”稍稍往后挪一点，这样还可以吗？再往后挪，想象一下，这样还可以吗？……当学生意识到这条线上的每个点都能解决问题时，教师慢慢再把这个点挪到梯形的腰上（左边或右边都可以），进而引导学生感悟：如果挪到这里，这种方法就变成了前面已经出现过的“两分法”，“两分法”实际上就是“三分法”的一种特例，是特殊与一般的关系。用特殊的“两分法”代替烦琐的“三分法”，运用的是一种常用的数学思维方法——极端思考。

捕捉生成点，进而放大成一种难得的教学资源，让学生拥有更多的“获得感”，是实现教学增值的有效途径之一。

课程是在教师与学生的教育对话中诞生的，教师与学生联合创造的教育经验才是真正具有灵性的课程。我们强调教师注重课前教学的预设，但更期盼课堂上有价值的生成。关注教学增值的课堂必然珍视教学过程的不确定性和非预期性。倡导突破课堂教学的预期目标和既定计划的限制，不断走向有价值的、生成的、开放的天地，从而使教师的教育智慧和学生的创新人格趋向于充分表现。

捕捉并利用有价值的生成信息，让教学增值，需要具备高超的教学智慧。教师要能迅速洞察到其价值所在，并尽“己”所能释放出个人的创造精神和创造才能，将自己独特的、不可为他人所取的教育智慧融入课堂教学资源之中，不断捕捉、判断、重组课堂教学中涌现出的学生信息，及时地将学生现实学习状态中的困惑、疑问和创新加以整合，形成新鲜的、连续的兴奋点和教学生长点，推动教学过程在具体情境中的动态生成，使结构化后的以符号为主要载体的书本知识重新被“激活”，焕发出勃勃的生命力。

三、追溯：把当下内容之源“掘”出来

这是一节我近期执教的公开课《平均数的再认识》——备课阶段，我研读了大量关于“平均数”教学的案例，发现这些案例大多囿于教材、流于浅表、止于概念。究其实质，是对这一重要概念的深层意义及丰富的教学资源鲜有触及。为了让学生深入理解“平均数”的统计学意义，在练习阶段，我精心设计了这样一组练习题：想想辩辩。下列哪些事情与我们今天学习的“平均数”有关系呢？（1）体育老师在评定立定跳远的成绩，小刚三次跳的成绩是1.67米、1.72米、1.69米，请问：小刚最后的成绩是多少呢？（2）年级组长正在统计四年级10个班级下学期大约要订多少套校服。小范脱口而出：“大约400套。”（3）同学们正在进行歌唱比赛，小勇是5个评委之一，给参加歌唱比赛的同学打分。

三个情境中，第三个是常见的与平均数有关的情境，全班没有任何争议;对于第一个情境，许多学生由于生活经验不足，误认为立定跳远的最后成绩就是算平均数，这道题有效地把课本知识与生活实际紧紧关联起来，纠正了学生的认识偏差，提高了他们对理论知识的辨识度。

第二個情境的创设及习题的编拟，我花费了更多心思。“平均数”这一概念是在什么时候被提出来的？是由什么人在什么背景下提出来的？带着这样的本源性追问，我查阅资料，咨询专家，终于找到了“平均数”的源头。原来，平均数的诞生与一则典故有关。公元4世纪，古印度王在院子里散步，发现院子里长着一棵高大的苹果树，上面结满了苹果。他想弄清楚树上到底结了多少个苹果，该用什么方法呢？想来想去终于找到了好办法。他先数出苹果树上一共长了多少根树杈，找到中等程度的那根树杈，数出上面苹果的数量，然后再与树杈数相乘得到苹果的总数。原来，平均数最先是为了求总数而诞生的。受此启发，我编拟了“订校服”的习题（400套是用40×10得到的，10是班级数，40则是每个班级的平均人数）。这道练习题可以帮助学生进一步理解平均数的统计学意义（反映一组数据的整体水平），强化平均数的计算方法，更为重要的是，把学生置于一个更广阔的时空中，追溯知识的源头来理解平均数的现实意义与生活价值，促其感受到学习平均数知识的必要性。

原来，教学增值，还有另外一种“打开”方式——融入背景，找到源头，引来汩汩活水。

什么是学习？联合国教科文组织在最新的报告中指出：“学习是由环境决定的多方面的现实存在。获得何种知识以及为什么、在何时、如何使用这些知识，是个人成长和社会发展的基本问题。”这一新的学习观念确认了学习与环境之间的关系，以及学习对个人成长和社会发展的意义。知识存在于背景，依存于逻辑，也依存于经验。离开了知识的背景、知识的逻辑和个体的经验，知识本身作为抽象的符号是不具备可理解性的。这就是美国教育哲学家谢夫勒探讨知识的条件与学习之间关系的根本原因。

行文至此，我仍在思考一个问题：没人会否认教学增值的意义，但我们的教学为何难以实现增值呢？

美国学者萨拉·罗斯·卡瓦纳在《蜂巢思维：群体意识如何影响你》一书中指出：“每个人都像身处一个巨大的蜂巢之中，共享一种思想、一种情绪、一种观点。我们常常一起感动、一起愤怒，我们会同时爱一个人，也会同时讨厌一个人。我们是社会动物，我们的思想、观念、对现实的感知，都直接或间接地为社会所同步。这就是‘蜂巢思维。我们对世界的看法，是由我们所选择的群体、所讲述的故事塑造的。我们感知的内容，绝不仅仅取决于自己的经历，还取决于我们的群体。我们会下意识地寻找和自己有共同的品位、信仰、文化背景或者兴趣的群体，并乐于通过这些来定义自己。”如此看来，追求教学增值的最大秘诀，不在于策略与方法，而在于思想——我们所处群体的思想。只有跳出“蜂巢思维”的束缚，解放思想，放宽视界，朝向儿童，才能让增值真正发生。

参考文献：

[1] 计思多.中小学学校效能增值性评价域外经验与启示——以英国兰开夏郡为例[J].教育观察，2020（31）.

[2] 张亮，张振鸿.学校“增值”评价的内涵与实施原则[J].当代教育科学，2010（10）.

[3] 菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学（第二卷·几何）[M].舒湘芹，陈义章，杨钦樑，译.上海：复旦大学出版社，2008.

[4] 殷英，黄伟星.数学综合与实践（六年级）[M].上海：上海科技教育出版社，2018.

[5] 郭元祥.论深度教学：源起、基础与理念[J].教育研究与实验，2017（3）.

[6] 萨拉·罗斯·卡瓦纳. 蜂巢思维：群体意识如何影响你[M]. 蒋宗强，译.北京：中信出版集团，2018.