立足解决问题的策略，发展数学学科关键能力

梁永年

纵观近几年的高考及各大市调研试题，我们发现证明不等式成立是常考题型之一，甚至出现在压轴题上，不仅综合性强，而且有些题型，思维量还很大，想通过不等式知识直接证明难度较大，但是我们可以换一种思考角度，根据不等式的结构特点，构建相对应的函数，充分利用函数的单调性和最值等性质去分析、推理、证明，会起到意想不到的效果，但构建的函数有多种多样，是不是构造的新函数都能应用在解题上呢？显然不是的，那么构建什么样的函数才是正确的呢？本文拟通过举例来谈谈如何去构造新函数，立足解决问题的策略的实践，发

展数学学科键能力。

例1.（2014年高考江苏卷数学试题）已知函数，其中是自然对数的底数.

（1）略;（2）略;

（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论。

思路分析：学生直接面对的是一个不等关系，就会思考如何运用不等式知识去解决，进而解决不了，但如果用函数观点来分析，本题实质就是，当时，证明：。下面也就思考如何构建相应的函数来证明，直接构造函数如能求出單调性，就能解决问题，但求导后发现研究难度大，超出我们知识范围，那么只有换一种思路，尝试将结构进行变形调整和转化，重新构建新函数，指数式可用于转化的手段并不多，将指数式可转化为对数式是一种常见思路，如将上式可变形为

当时  证明：成立即可，

不妨构建新函数来试一试

求导后得

很容易发现上是单调增函数。

所以有结论原题得证，

本题看似复杂、没有思路，变形后能迅速解决问题。

例2.若，证明

思路分析：由已有经验要证，即可构造，不加变形直接构建函数，求导后得出无法化成最简形式，不能进一步研究其性质，这样的构造没有效果。分式的变形处理较为灵活，但移项通分要注意不等号的方向，我们可利用例1的经验，可对结构式实施以下变形和调整。

（1）如果两边同乘，构造（函数值和1比较）

求导得

容易证得上是减函数

从而得证

（2）如果两边同乘，构造（函數值和0比较）

求导后得单调性并不明显，但分子的结构式并不复杂，经二次求导后证得上是单调增函数，

所以得證

（3）如果两边同乘，可构造（函数值和0比较）

同样可证明如下：

设，

则，且，，

令，则，

因， 所以，

所以导数在上单调递增，于是，

从而函数在上单调递增，即.

以上都是根据题目构造出的新函数但对解题有帮助吗？我们发现这三类函数求导后过于复杂无法化简，也就无法去研究新函数的单调性，更别谈最值了。

从以上案例我们发现，构建的新函数能否进一步展开研究，关键是构造的函数能否通过求导后研究其单调性和最值，如果不能做到这一点，那么这样的构造是无效的，我们就需要通过对结构式进行变形、调整、分解、组合，使其符合解题要求，这也是解题的核心所在。

基金项目：本文系2017年江苏省教育科学研究院现代教育技术研究所立项课题《让数学学习直观有效——高中数学课堂活动中融合信息技术路径的研究》（课题编号：2017—R—57745），及盐城市教育科学“十三五”规划2017年度课题《基于发展学科关键能力的高中数学教学实践与研究》（课题编号：2017—L—009）成果之一。

（作者单位：1江苏省滨海中等专业学校2盐城市陆建名师工作室）