“函数概念”教学的经历、体验与探索

□张才宝

（连云港市海州区教育局教研室，江苏连云港 222000）

2014年贵州师范大学吕传汉教授提出了“教思考”“教体验”“教表达”[1]的数学教学行为.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）强调了“过程性目标”和“结果性目标”并重，并使用了“经历”“体验”“探索”等行为动词描述“过程性目标”，以此反映数学思考目标的实现过程.笔者认为，《课标》中的经历、体验、探索与吕传汉教授的教思考、教体验、教表达一一对应.

这里的“经历”指在特定的数学活动中，获得一定的感性认识.“体验”特指参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征.“探索”特指在独立与他人合作参与特定的数学活动中，理解或提出问题，寻求问题解决思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别与联系，获得一定的理性认识，获得一定层面的自我实现价值判断.

本文以笔者近期在正高评审活动中执教的“6.1-1函数”同课异构为例，彰显数学思维的经历、体验、探索过程，实现常量数学到变量数学的有效衔接.《义务教育教科书·八年级数学上册·教师教学用书》在教学建议中明确指出，由常量数学到变量数学，是数学思维的一次飞跃.对于函数概念教学，教学中应该重视通过大量的实例，引导学生在认识事物的运动变化中有效地渗透，逐步地揭示函数的本质特性、联系和变化，感知函数是揭示事物变化规律的有效手段，是一种研究数学运动变化的有效模型.

一、经历：概念发生与形成的知觉认知条件，落实先行组织，思考课程目标

在数学过程性目标实现范畴，“经历”是过程性目标达成的认知起点，带有“具身认知”的积极意义，是学生形成概念的思维支持条件，有助于概念的抽象和把握.当然，概念属性特征的抽象，必须与学生的知觉思维水平具有内部关系一致性，学生才能在经历的基础上获得概念的同化与顺应，形成概念的基本特征.另外，概念的“经历”需要先行组织行为的有效落地，线性组织材料的思维水平与学生的认知思维水平正相关.为此，在经历过程中，问题设置必须满足三个维度特征：一是让学生经历抽象，联结生活与数学的思维桥梁；二是让学生使用正向例证，形成概念的本质特征；三是通过思维辨别，建立概念表象和达成概念类化目标，实现对概念的深度认识，剔除概念的非本质属性，进而把握概念.

例如，在引进“函数概念”的过程中，笔者设计了梯度“问题反应块”，让学生在“经历中”获得认知，发展知觉思维，实现先行组织思考目标.具体的问题块是：首先让学生在平面内任意确定一点O，以O为圆心，任意长为半径画圆.在画圆的过程中，感知哪些量是保持不变的，哪些量是不断变化的（圆的半径、周长、面积在不断变化，2和π保持不变）；其次是让学生观察“列车的时速照片”，即假定列车从连云港驶向南京途中的某一时段，列车以200千米/小时的速度匀速行驶.探讨在列车行驶过程中，涉及哪些量，哪些量没有变化，哪些量是不断变化的（根据PPT的旁白，引进常量和变量的描述性概念）；第三是在半径为r的水波纹形成的圆中，周长C=2πr，面积S=πr2.圆的周长C、面积S随半径r是怎样变化的？在这个变化过程中，有几个变量？

如果说学生“画圆”是经历常量数学到变量数学的变迁过程，那么观察“列车时速”是形成变量概念的通用技术，而“变化的水波纹”是引动函数概念的有效载体，也是进行函数模型抽象的先行组织行为，有利于学生感知“变化过程”“两个变量”“一个变量确定，另一个变量也随之确定”.一般情况下，概念的发生与形成是一种知觉心理.这种心理过程包括感知、表象和思维，需要学生在经历中获得，在自身认知中感知，在表象中分析并进行思维抽象，形成初步的变量意识.这就是“先行组织行为”的认知目标，有利于学生形成概念的经历感，也是用数学的眼光观察世界的一种思维表现.

二、体验：概念形成与使用表象认知条件，落实变式，思考数学目标

《课标》使用了“经历”“体验”和“探索”等行为动词作为过程性行为目标的描述，而“体验”是基于经历的过程性感受，是探索的目的，有助于概念的形成与使用，也有助于数学思考目标的实现，尤其是变式思考的具体落地.在日常数学课堂教学中，体验是概念表象建立的必要条件，反之，概念表象的建立有助于概念特征的深度把握.正如叶澜教授所说，在研究课堂教学时，要注意两方面的关系：一方面是知识体系的内在联系和整合；另一方面是学生生命活动诸方面的内在关系、相互协调和整体发展.前者可以看成是概念形成的条件，后者可以看成是概念表象得以建立的前提.在学生的数学体验中，形成和使用概念，有助于学生将感性认识水平及时上升到理性认识层面，实现了概念共同特征的进一步把握.因此，在数学慢教育课堂教学中，基于数学体验，我们需要做好三个维度的工作.一是学生的“做”，实现同化概念的获得感；二是学生的“讲”，实现顺应概念的知道感；三是学生的“用”，实现迁移概念以及心理过程的形成.

例如，在“函数概念”形成与使用环节，笔者基于体验设置的问题组块包括原问题、外源变式和内源变式.

原问题反应块：用一根1m长的铁丝围成一个长方形.（1）当长方形的宽为0.1m时，长为多少？（2）当长方形的宽为0.2m时，长为多少？（3）当长方形的宽为xm时，长为多少？（4）长方形的长y（m）是宽x（m）的函数吗？为什么？

设计意图：该问题是课本“交流”栏，旨在让学生基于问题解决，体验概念的三个特征.在一个变化过程中，两个变量之间相互影响的关系，一个变量随另一个变量的确定而唯一确定.同时，渗透了特殊到一般的数学思想，让学生形成一般概念的意识，进一步把握概念.

二级问题反应块：一个长方形的面积是24.（1）当长方形的宽为2时，长为多少？（2）当长方形的宽为4时，长为多少？（3）当长方形的宽为x时，长为多少？（4）长方形的长y是宽x的函数吗？为什么？（5）写出y与x的函数关系式？

设计意图：这个问题属于反比例函数概念模型.一方面能让学生在问题情境中体验“函数概念”的三个特征，同时让学生体验函数表达的不同类型，有助于学生感知函数表达常见的三种形式（表格、图象与表达式）.同时还要让学生明白函数表达的不同形式（一次函数关系模型、反比例函数关系模型、二次函数关系模型），要让学生站在初三年级的高度，理解函数概念的意义，即一次函数、反比例函数以及二次函数的不同模型形态，落实单元概念教学的意义.

一级问题反应块：如图1，已知AB=8.点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.若AP=x，这两个正方形面积之和为y.写出x与y之间的关系式，并判断y是否是x的函数，为什么？

图1

设计意图：该问题的设置属于中考数学试题的一个视角（连云港市2014年中考数学试题第27题的适度改编），这样问题的添加，有助于自然揭示动态问题的本质就是某个变化的过程，带有函数概念的三个变量特征.换句话说，让学生在使用概念中理解概念，体验概念的意义建构，实现概念的深度理解.

我们知道，概念的形成过程就是心理过程的意义建构，包括形成概念的心理过程和同化概念的心理过程.一般意义上讲，一方面形成概念在于概念意义的获得；另一方面同化概念是一种数学体验，有助于概念本质属性的揭示，进而给出名称和符号；再一方面概念形成的心理过程在于对思维活动素材的抽象与概括，并在使用概念中获得对概念的进一步把握.为此，结合上述案例来说，原问题就是概念表象的建立与使用，二级反应块就是变式数学思考目标的实现，一级反应块是在体验中获得概念的表征，有助于数学概念本质特征的外化.如果说，原问题是一种体验概念的过程，那么变式问题则是数学思考目标有序实现的外在表现.

三、探索：概念解释与关联的思维补偿条件，实现元认知，监控调节目标

探索是数学概念发生的必经思维之途，是知识技能获得的有效方法，也是当前大部分数学课堂关注的思维路径.基于这一认识，我们认为概念的解释需要探索，思维补偿需要探索与关联，元认知监控目标的实现也需要探索[2].因此，探索决定学生的思维补偿水平，支配着概念的解释与关联的层次，有助于学生元认知能力的发展.一般情况下，探索作为知识技能获得的途径，则表现为概念的解释与拓展，具体表现为概念的回归能力.课堂教学中，我们常常说，当遇到无法解决的问题，要记得回归概念.其实，这就是对概念的深度解释，有助于学生知道概念的来龙去脉，实现了“知其然，知其所以然”的目标.探索作为数学思考目标的实现方式，有助于学生学会思考，例如，让学生关联相关知识，使得概念具备系统特征，进而使得前概念、主概念、后概念等要素相互关联的结构关系.探索有助于学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表征世界.

因此，在数学课堂探索教学中，需要做好三个维度的工作：一是设置单元概念反应块，落实系统概念目标；二是设置课时反思块，落实概念的结构性目标；三是设置知识过渡反应块，落实概念信息的加工与改造，实现概念系统的有序建立.结合“一次函数”概念解释、拓展的思维块，设置如下问题：首先是让学生举例说明对常量、变量、函数概念的理解.学生的思维产物是：在我每天去学校的变化过程中，我的骑车速度、我家到学校的距离保持不变，是常量；而我距离学校越来越近，距离我家越来越远，是不断变化的，是变量.其次是在学生生活中，还有哪些表示函数关系的量，请举例说明.连云港黄海的潮汐现象，就是函数关系的经典例子，以及某地某天随着时刻的变化，气温随之在不断变化，随着时刻的确定，气温也随之确定，这就是生活中的函数关系.再次可以让学生感知函数概念，也就是研究变化规律的数学模型，即“生活实例→（建构）数学模型→（应用）研究现实”.比如，周长一定的长方形的长与宽的关系，就是一次函数概念；另外，让学生明白周长一定的长方形、正方形和圆中，圆面积最大的根本原因，这就是日常生活中地下水道建成圆形的根本原因.

图2

顺便提及，设置了概念备用思维块，即“沙漏问题”是我国古代的一种计量时间的仪器，它根据一个容器里的细沙漏到另一个容器里的数量来计量时间（如图2）.即自变量是一个容器的细沙漏到另一个容器里的数量.学生在反思这一问题时，理解存在很多思维偏差，通过回归概念，学生才在反思中获得真正的理解.“弹簧伸长问题”是在一根弹簧的下端悬挂重物，在弹簧的弹性限度内，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm.弹簧原长10cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为lcm.（1）在这一变化过程中，有几个变量？分别是什么？（2）你能用m表示l吗？（一次函数关系表达式为在这一变化过程中，两个变量之间有什么关系？就单元概念建立来说，在知识获得层面，探索在于自变量的确立和一次函数关系的建立；在数学思考层面表现为学生对概念关系的分析，以及回归概念解决问题的意识；在情感态度层面，表现为学生对数学的应用意识.举出生活中的函数例子，就是对概念深度理解的表现，也是对概念的“工具性理解”到“关系性理解”的一个表现[3]，实现了对概念的正向把握，形成结构关联的系统概念 .