斜轴墨卡托投影及其在航海中的应用∗

李忠美 张 猛 边少锋 李松林

（1.北京市遥感信息研究所 北京 100011）（2.海军工程大学导航工程系 武汉 430033）

1 引言

自16世纪创立起，墨卡托海图因经纬线被表示为平行直线且具有保角特性，给航海者带来很大方便，一直被作为船舶海上航行的基础图，在航海中具有不可取代的地位［1～4］。在该投影中，基准纬线无长度变形，从基准纬线向两极变形增加［5］。随着海洋工程及海运事业的繁荣发展，对关键水道的高精度测量和绘制提出越来越高的需求。墨卡托投影可满足基准纬线附近沿纬线延伸的地区变形较小，当投影区域非东西方向延伸时，则难以满足高精度制图需求。针对以上情形，国内外学者通常采用斜轴墨卡托投影［6～7］以规避长度变形较大的问题。目前该方法已被广泛用于高速公路、高铁建设、地震勘测等高精度测量领域，并取得丰硕的成果［8～11］。然而，该方法在海上的应用却不多，鉴于航海业的繁荣发展，合理设计航线以缩短航程和保证船舶的安全航行，具有较强的应用前景。考虑到大圆航线虽为最经济航线，但需不断操舵转向，在航海中通常将其等分为若干段等角航线［12］，以减少操舵次数。因此，可考虑通过一系列坐标转换，将航线转换至斜轴墨卡托投影平面上的0°纬线圈附近，进而实现减少打舵次数和减小投影长度变形的目的。本文拟对斜轴墨卡托投影在航海中适用性进行探讨，为航海提供参考。

2 斜轴墨卡托投影的表示

2.1 斜轴墨卡托投影过程

图1 斜轴墨卡托投影示意图

如图1所示，斜轴墨卡托投影是对斜轴参考圆球进行正轴切圆柱投影，其关键是建立地球至斜轴参考圆球间地理坐标的映射关系。根据文献［13］可知，正轴与斜轴间地理坐标的转换关系如下：

式中，e为自然对数底数，q0、λ0为斜轴参考圆球极点Q在地球圆球上的等量纬度与经差，q、λ为地球圆球上的任意点A的等量纬度与经差，q′、λ′为A点在斜轴参考圆球上的等量纬度与经差。其中，等量纬度q与球面纬度φ间的关系如下：

对斜轴参考圆球进行正轴切圆柱投影，如下

2.2 确定极点位置

由式（3）可以看出，为对地球圆球进行斜轴墨卡托投影，需确定极点Q的位置q0、λ0，即根据极点位置构建斜轴参考圆球，使得航线位于斜轴参考圆球的赤道附近，进而达到减小航线附近投影变形的目的。

为求得该值，拟以地球圆球赤道平面为O-XY平面，以球心O到北极N方向为Z轴，建立空间直角坐标系。沿航线平均取若干点(φi，λi) ，求得航线各点对应的空间直角坐标( )Xi，Yi，Zi，如下：

利用最小二乘法，求得过球心且离该航线各点最近的平面mXi+nYi+Zi=0，即为斜轴参考圆球的赤道所在平面。其中：

式中，J=( )Xi，Yi，W=Zi。

进而可得极点Q的空间直角坐标为根据它与地理坐标间的关系，对应地可求出Q在地球圆球上的地理坐标，如下：

式中，φ′为地球圆球上任意点A(φ，λ)在斜轴参考圆球上的纬度。

利用Geocart软件，选择新极点的坐标为Q(3 0°N， 120°E )，可绘制出斜轴墨卡托投影平面示意图，如图2所示。在该投影平面上，利用渐深的黑色将为0～10范围内的投影长度变形进行表示，如图3所示。

最后，可得斜轴墨卡托投影长度变形如下：

图2 斜轴墨卡托投影平面示意图

图3 斜轴墨卡托投影长度变形示意图

由图2、3可以看出，在斜轴墨卡托投影平面上，极点所在经线被投影为直线，地球经纬网被表示为以该直线为对称轴的正交曲线网；以极点为对称中心，投影长度变形随着远离极点沿该直线方向加速增大，在该直线垂直方向上，投影长度变形一致。

3 算例分析

图4 墨卡托海图上的马六甲海峡航线示意图

为验证斜轴墨卡托投影在减小投影长度变形方面的优势及其在航海中的适用性，以马六甲海峡为例，如图4所示依次沿海峡中线取若干点，将其坐标列于表1；通过解算出极点Q的位置，进而计算出沿线各点在斜轴参考圆球上的坐标，列于表2；对该区域进行斜轴墨卡托投影，投影后经纬网如图5所示；最后，将表1各点处的投影长度变形列于表3，并与正轴墨卡托投影长度变形进行对比。

图5 斜轴墨卡托投影平面上的航线示意图

表1 航线沿线各点在地球圆球上的地理坐标

经计算，极点Q在地球圆球上的坐标为(46.9459°N， 165.4592°W )，航线沿线各点在斜轴参考圆球上的经纬度见表2。

航线沿线各点在不同投影平面上的长度变形见表3。

由图5及表2、表3可以看出，经斜轴墨卡托投影后，航线被转换至斜轴参考圆球的0°纬线圈附近，在投影平面上近似水平；同时，与正轴墨卡托投影相比，斜轴墨卡托投影有效减小了航线附近海域投影长度变形，进而使得该区域经纬网形状变形较小；综合以上特点，并考虑到斜轴墨卡托投影依然具有保角特性，可认为在航线附近海域斜轴墨卡托投影较好地保留了墨卡托海图的优势，依然便于航海者使用。

另，本算例中马六甲海峡航线位赤道附近，在墨卡托海图上长度变形较小，当航线位较高纬度并沿非东西方向延伸时，斜轴墨卡托投影在减小投影长度变形方面的优势将更为明显。

表2 航线沿线各点在斜轴参考圆球上的地理坐标

表3 航线各点在不同投影平面上的长度变形

4 结语

本文通过建立地球与斜轴参考圆球间地理坐标转换关系，实现斜轴墨卡托投影，得出结论如下：

1）根据航线所在位置，利用最小二乘法，构建斜轴参考圆球，满足航线位斜轴参考圆球的0°纬线圈附近。

2）当航线沿非东西方向延伸时，与正轴墨卡托投影相比，该投影可有效减小航线附近海域投影长度变形，可用于重要航道高精度海图绘制。

3）投影具有保角性质，且航线附近海域经纬网形状变形较小，具备墨卡托海图的部分优势，便于航海者使用，一定程度上可为航海提供参考。