客流需求不确定下城市轨道交通线路协同限流鲁棒优化研究

王兴蓉,王石生

(1.北京交通大学 交通运输学院，北京 100044；2.中国铁道科学研究院集团有限公司 电子计算技术研究所，北京 100081)

为了确保运营安全，限流已被越来越多的城市轨道交通车站采用。目前，关于城市轨道交通限流的研究主要分为三个层面，即车站层、线路层和网络层。车站层面，Xu等[1]研究了客流需求不确定下城市轨道交通车站的限流。线路层面，赵鹏等[2]以乘客延误时间最小和客运周转量最大为目标，构建了城市轨道交通线路协同限流多目标优化模型；鲁工圆等[3]基于城市轨道交通拓扑网络和客流需求建立了以旅客周转量最大为目标的城市轨道交通线路客流控制整数线性规划模型；Wang等[4]研究了如何在轨道交通线路上通过协同限流的方式快速疏解大客流车站的客流；Jiang等[5]以降低滞留人数和错过列车次数为目标，构建了城市轨道交通线路协同限流优化模型，并采用强化学习算法对模型进行了求解。网络层面，Guo等[6]建立了以全网范围内乘客的平均延迟时间最小和个人的最大延迟时间最小为目标的城市轨道交通网络协同限流模型，并用粒子群算法对模型进行了求解；姚向明等[7]首先基于随机用户均衡理论对网络客流进行了分配，然后建立了以客流延误量最小和客流需求与输送能力匹配度最大为目标的城市轨道交通网络协同限流多目标优化模型。综上所述，目前国内外关于城市轨道交通线路和网络限流的研究都是在确定情况下进行的，没有考虑协同限流过程中存在的不确定因素，比如客流需求的不确定性、列车故障的不确定性等。为了保障城市轨道交通运营安全，有必要考虑不确定情况下城市轨道交通线路的协同限流，使限流策略更加可靠的同时，保障运营效率。

鲁棒优化是一种常见的处理不确定性问题的方法，已被广泛应用于交通运输相关领域，例如交通网络设计[8]、船队规划决策[9-10]等。本文研究了客流需求不确定下城市轨道交通线路的鲁棒协同限流方法，构建了基于情景集的鲁棒优化模型，使限流策略在具有不确定特性的客流需求扰动下仍然可行，并通过算例对模型的性能进行了验证和分析。

1 问题分析

城市轨道交通线路协同限流是指为了缓解整条线路而不仅仅是某个车站的拥挤，需要在时间及空间上协同调整多个车站的进站客流，从而达到系统最优的目的。为了在保障运营安全的同时提升运营效率，在制定协同限流策略时需要考虑各种不确定因素的影响，主要包括客流需求的不确定性和列车运行过程中的不确定性。其中，客流需求的大小直接影响每个车站的限流强度。因此，在需求不确定环境下研究城市轨道交通线路协同限流更具有实际意义。

图1 离散时间和等效时间间隔的解释

在高峰时段，大部分城市轨道交通线路仅在单方向上具有大客流，限流对相反方向的乘客造成的影响很小。因此本文仅以高峰时段城市轨道交通线路单方向作为研究对象。本文主要解决的问题是计算在客流需求不确定条件下每个时段每个车站的最佳进站量[2],即每个等效时段内允许进站的乘客都能乘上该时段内通过该站的列车，不会产生滞留。

2 城市轨道交通线路协同限流模型构建

本节分别构建了城市轨道交通线路协同限流的确定性模型和需求不确定下的鲁棒限流模型，包含模型假设、符号说明、目标函数及相关约束，具体如下。

2.1 模型假设

为了方便模型的建立,首先对问题做如下假设：

(1)乘客需求呈随机特性且概率分布函数已知；

(2)限流过程中没有突发事件产生,列车按照计划的列车运行图运行；

(3)每个等效时段内进站客流服从均匀分布；

(4)不考虑乘客刷卡后从闸机到站台的走行时间，认为乘客刷卡后能立即到达站台。

2.2 集合、参数及变量定义

模型中所涉及到的集合、参数的说明见表1，变量定义见表2。

表1 集合和参数说明

表2 变量定义

2.3 城市轨道交通线路协同限流确定性模型

首先建立使在研究时段内线路上滞留人数最小的确定性整数规划模型(P1)。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

其中，式(1)为目标函数，表示使在研究时段内滞留在站外的总人数最小。式(2)～(4)为客流需求约束，式(2)表示初始时段每个车站的实际客流需求等于新到达的客流量。式(3)表示除初始时段外每个等效时段每个车站的实际客流需求等于该等效时段新到达的客流量与上一时段滞留的人数之和。式(4)表示每个等效时段每个车站滞留在站外的人数等于该等效时段实际的客流需求减去最佳进站量。式(5)为上车人数计算公式。在本文中，认为每个等效时段内进站的乘客总能乘上该等效时段内通过车站的列车。式(6)为下车人数计算公式，其中下车率可由历史数据获得。式(7)为列车载客量计算公式。式(8)为列车容量约束，表示每个等效时段内所有列车的实际载客量之和不能超过最大容量。本文对每个等效时段的所有列车的容量进行了合并。式(9)从安全性的角度出发保证每个等效时段内站台上的聚集人数不能超过站台的最高聚集人数。式(10)从公平性的角度出发保证每个等效时段内每个车站的进站人数不能小于最低进站人数，否则，由于上游车站的乘客占据了列车的大部分容量，对于下游车站的乘客而言，可能会导致最佳进站量为0，而实际限流时并不可行。同时，最佳进站量不应超过实际客流需求。式(11)为基本约束，保证每个时段每个车站滞留在站外的人数非负。

2.4 城市轨道交通线路协同限流鲁棒优化模型

2.4.1 鲁棒优化方法

minσ(x,y1,…,yc)+ωρ(ε1,…,εc)

,

(12)

s.t.Ax=b

,

(13)

,

(14)

x≥0,yc≥0, ∀c∈C

,

(15)

式中，x表示设计变量，其最优解与不确定参数无关；y表示控制变量，取值不仅与不确定参数有关，还取决于设计变量。相应地，式(13)称为设计约束，不受不确定因素的影响，式(14)称为控制约束，会受不确定因素的影响。

在该模型中，鲁棒性包括两层含义，即解鲁棒和模型鲁棒。对于任意某个情景而言，若模型的解都接近于该情景下的最优解，则称为解鲁棒；若模型的解对任何情景都可行，则称为模型鲁棒。模型中的第一项σ(·)用来表示解的鲁棒性，第二项ρ(·)是对超出约束部分的惩罚，用来表示模型的鲁棒性。由于很难同时满足所有情景下的最优性与可行性，该模型引入权重系数ω来度量解鲁棒和模型鲁棒之间的相对重要性。

Mulvey等[11]提出的基于情景集的鲁棒优化模型框架中，第一项σ(·)的具体表达形式并不唯一，本文采用Yu等[12]提出的形式，如式(16)所示

,

(16)

,

(17)

,

(18)

ϑc≥0。

(19)

为了便于求解，Yu等[12]采用式(17)～(19)对式(16)进行了线性化处理，并证明了两者之间的等效性。

式(16)中：第一项为情景目标值的期望，其中ζc表示情景c下的目标值；第二项为情景目标值与期望的绝对差的期望，其中λ为风险权衡因子，用以体现决策者对系统稳定或风险的偏好。式(17)中，ϑc是为了线性化式(16)而引入的变量。

2.4.2 客流需求不确定下协同限流鲁棒优化模型

定义每种情景下的目标函数为

(20)

则客流需求不确定下城市轨道交通线路协同限流的鲁棒优化模型(P2)可以表示为：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

ϑc≥0,∀c∈C，

(31)

(32)

目标函数(20)由3项组成：第1项为滞留人数的期望值，代表了不同随机需求下滞留人数的均值；第2项为各种情景下滞留人数与期望的绝对偏差的期望，用来衡量随机需求对限流策略的扰动程度，扰动越大，则风险越大；前两项之和是对解鲁棒性的衡量，第3项是不可行惩罚函数，是对在各种情景下未满足列车容量约束的惩罚，用于衡量模型的鲁棒性。式(20)～(32)构成了完整的鲁棒优化模型，可以看出，该模型中所有约束都为控制约束。

3 算例分析

3.1 基本信息

本文选取北京地铁八通线进行算例分析。八通线位于通州新城，通过换乘站四惠站及四惠东站与地铁1号线相连，如图2所示。八通线是北京地铁常态化限流车站最多的线路之一。

早高峰时段，超过90%的乘客通过换乘站四惠站及四惠东站前往地铁1号线，拥挤十分严重，因此本文选取八通线下行方向进行案例分析。对于土桥站而言，研究时段为6:30—9:00，由于对原始时段进行了偏移，因此其他车站的研究时段也相应进行了偏移。为了减少换乘客流的影响，本文将换入换出客流视为本线进站和出站客流。由于下行方向没有换入客流，因此仅将八通线各站乘车前往其他线路的客流视为在四惠站和四惠东站出站的客流。在实际运营中，多数乘客选择在四惠东站换乘，因此本文将每个站的换乘客流按7∶3分配在四惠东站和四惠站。除了客流数据外，还需要列车运行数据及模型的相关参数。为便于表示，本文将土桥站至四惠站分别标号为1～13。

图2 八通线示意图

本文以2017年9月18日八通线的实际刷卡数据为基础客流数据。为了体现需求的波动性，假设每个等效时段内每个车站的客流需求在基础数据的0.9～1.1倍内服从均匀分布。假设存在Nc种需求情景，则基于随机模拟技术根据概率分布模拟生成Nc个需求情景，每种情景出现的概率均为1/Nc。具体的参数取值见表3～7。

表3 模型相关参数

表4 站台最大聚集人数[13]

表5 列车运行偏移时间

表6 等效时段与原始时段的对应关系

表7 每个等效时段内通过每个车站的列车数

3.2 结果分析

采用Matlab软件调用gurobi求解器对所构建的鲁棒优化模型进行求解，得到不同情形下各车站分时段最佳进站量，如表8所示。由于八通线上四惠站和四惠东站几乎没有进站量，结果中不包含这两座车站。

表8 需求不确定条件下各车站分时段最佳进站量

为验证模型的鲁棒性和优势，首先用确定性模型(P1)对5种客流需求情景分别进行求解，得出每个情景下的最优滞留人数。然后将鲁棒模型得到的限流策略分别代入到5种客流需求情景中，得出在该限流策略下，每种需求情景下的滞留人数，并将结果与每个情景的最优值进行对比，结果如表9所示。

表9 不同需求情况下的最优目标值

从表9中可以看出，对于每种确定性需求而言，鲁棒限流策略产生的滞留人数与每种确定情景的最优滞留人数相比，相对差都在10%以内，较为接近。因此，本文提出的城市轨道交通线路协同限流鲁棒优化模型是解鲁棒的。对于情景2和情景3而言，鲁棒模型得出的限流策略会使列车提供的容量不足，即允许进站的人数超过了所能提供的列车容量，这也说明鲁棒优化模型得出的解不一定对所有的情景都可行，因此解鲁棒和模型鲁棒之间是矛盾的。但实际运营中，超过列车容量的这部分乘客可以滞留在站台上等待后续列车。

为了验证鲁棒模型的意义，将确定性情景1下的最优限流策略代入到其他4种情景中，得出此时每种客流需求情景下的滞留人数，结果如表10所示。通过与鲁棒限流策略下每个情景的滞留人数进行对比可知，需求确定情况下得到的限流策略虽然对于该种情景是最优的，但当实际发生的情景不同于预测的确定性情景时，这种最优决策与“实际最优”决策相比，将会导致较大的偏差，而鲁棒优化方法计算出的不确定需求情况下的最优限流策略虽然对于部分情景而言并不可行，但可以降低限流策略对需求的敏感程度，且鲁棒限流策略虽然增加了部分场景的滞留人数，但都保持在可以接受的范围内。因此，在实际的运营中，考虑客流需求不确定下城市轨道交通线路协同限流问题是有意义的。

表10 确定性情景1的最优限流策略对其他确定性情景的影响

3.3 灵敏度分析

在本文提出的鲁棒优化模型中，共包含两项权重因子。其中，ω是对违反约束的惩罚因子，同时也用来衡量解鲁棒和模型鲁棒之间的相对重要程度；λ是风险权衡因子，用于体现决策者对风险的偏好。各种情景下滞留人数与期望的绝对偏差的期望越小，表示模型的解对不确定需求的敏感性越低，则决策带来的风险越低。

3.3.1ω灵敏度分析

当λ保持1.0不变时，使ω从0.5到11.0这个范围内变动，5种情景下滞留人数的期望与惩罚成本(5种情景下超出列车最大容量的乘客数的期望)的变动趋势如图3所示。从图中可以看出，随着ω的增大，滞留人数的期望越来越大，而惩罚成本越来越小。当ω取值为11.0时，滞留人数的期望最大，而惩罚成本为0，说明此时的鲁棒限流策略非常保守，对任意确定性情景的实现都可行，模型等同于绝对鲁棒。ω灵敏度分析的结果进一步表明，解鲁棒和模型鲁棒是相互矛盾的，滞留人数的期望增加，意味着模型的解鲁棒性随着ω的增大而降低，而惩罚成本减小，意味着模型鲁棒性增强。

图3 ω敏感性分析

3.3.2λ灵敏度分析

当ω保持4.345不变时，使λ从0.5到10.0这个范围内变动，滞留人数偏差的期望值的变动趋势如图4所示。从图中可以看出，随着λ的增大，偏差的期望减小，因此，限流策略对不确定需求的敏感程度随λ的增大而减小。

图4 λ敏感性分析

4 结论

在确定性模型的基础上，采用基于情景集的鲁棒优化方法建立了客流需求不确定下城市轨道交通线路协同限流鲁棒优化模型，对每个时段内每个车站的最佳进站量进行了求解。该模型既考虑了客流需求不确定对限流策略的影响，又考虑了解与模型的鲁棒性以及决策者对风险的偏好程度。通过对确定性模型和鲁棒模型的结果进行对比发现，鲁棒模型虽然增加了部分客流情景下的滞留人数，但可以降低不确定需求对限流策略的扰动程度，且增加的部分保持在可接受的范围内，避免了实际发生的情景不同于预测的情景时产生较大的偏差。灵敏度分析的结果表明，解鲁棒和模型鲁棒是相互矛盾的，模型鲁棒性的增强，意味着解鲁棒的降低。同时，随着风险权衡因子的增大，限流策略对不确定客流需求的敏感程度下降，对城市轨道交通系统产生的影响会更稳定。

但是本文仅考虑了不确定客流需求呈均匀分布的情况，在进一步的研究中，需要根据历史的客流数据统计客流的实际分布及相应的概率变化情况，并以此分析需求的不确定性对决策变量的影响。