“帕普斯—古尔丁”定理的证明及其在中学物理领域的应用

王磊 陈建文

摘   要：“帕普斯—古尔丁”定理早在古希腊时期就被几何学家发现了，该原理的思辨性容易被中学数学水平的学生理解，其证明方法可以用微积分所得，当把该原理应用于处理求刚体重心有关的物理问题时可以代替微积分方法，有效地简化物理问题的处理，尤其是在高中物理竞赛和大学物理课程中使用更为多见。

关键词：“帕普斯-古尔丁”定理;刚体重心;竞赛

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2019）11-0058-3

1    “帕普斯—古尔丁”定理的介绍

古希腊后期的几何学家帕普斯（Pappus，约公元300—350年前后），在其所著的《数学汇编》中记载了关于旋转体体积的一个定理，大意为：“封闭的平面图形围绕同一平面内且不与之相交的轴回转，所产生的体积等于这图形面积乘以图形重心所描画出的圆周的长”。他还进一步断言：“可以将封闭平面图形改成一段平面曲线，它回转所产生的曲面面积等于曲线的长乘以其重心所画过的圆周的长。”帕普斯只叙述而没有证明。文艺复兴后期，瑞士数学家古尔丁（图1）重新独立发现了这一定理，记录在他的著作《关于重心》中。实际上，他也没有证明，只是作了“形而上学”的推理。因此，后人常称之为“帕普斯—古尔丁”定理[1]。意大利数学家卡瓦列里（图2）指出这一缺陷后，用自己创立的微积分奠基理论“不可分量原理”证明了该定理的成立。

2    “帕普斯—古尔丁”定理的微积分证明[1]

任意的平面封闭几何形状（图3），其面积为S，该几何图形的重心为C，在该几何图形平面内任取一与该几何图形无相割的直线x为转轴，重心C与x轴的垂直距离为yC，使该几何图形绕x轴旋转α角（α≤2π）形成一个立体几何体。根据“帕普斯—古尔丁”定理，该几何体的体积为：

以直线x为x轴建立三维直角坐标系。将该图形置于三维坐标系中的xy平面内研究（图4），把该图形分成上下两部分，上下两边界的曲线分别看成y关于x的函数y1=f1（x），y2=f2（x）。

、y2=f2（x）所围成的图形为一无穷窄矩形，其面积为ΔS=[f1（xi）-f2（xi）]Δx，该矩形的重心为其几何中心，坐标为（xi+ ， ）。

根据重心位置叠加原理  = 有：

该几何图形的重心C的纵坐标

写成积分方程有：

将（2）式带入（1）式得“帕普斯—古尔丁”定理下该立体几何体的体积为：

用微积分方法直接求该几何图形绕x轴旋转α角后的立体几何体体积有：

3    “帕普斯—古尔丁”定理的物理实际应用

例题1 如图5半径为R的 光滑圆柱固定在地面上，柱面上放置一根长为 、线密度为λ的光滑均匀铁链AB，在A端施加一水平向左的拉力F，求能使AB恰好完全在柱面上静止的拉力F大小？

解析 由对称性可知铁链重心C一定在∠AOB的角分线上，根据“帕普斯—古尔丁”定理使 圆周AB绕OB轴旋转360°得到一个半球面有：

可得OC= ，即重心C在∠AOB的角平分线上距O点 处，铁链静止后其形状不再改变，此时可以把铁链当成刚体来对其进行受力分析。重力G与拉力F的反向延长线交于点D，把铁链分成无穷多小段，第i段受到柱面的支持力为Δ i。因为支持力与接触面垂直，每一个Δ i的反向延长线必经过O点，所有小段所受支持力的合力 = Δ i，所以铁链所受柱面的合支持力N必然经过O点。再根据刚体受三力平衡的共点原理，合支持力N必然经过D点，即铁链所受合支持力N的方向为OD方向。

例题2  如图6所示，质量分布均匀的半圆柱体，其平面向上放在粗糙水平面上，半圆柱体与水平面间的摩擦系数为μ，如图6在圆柱体边缘A点施加一水平向右的力F，使圆柱体匀速向右运动，求半圆柱偏过的角度θ。

解析 由对称性可知，半圆柱体的重心一定在AB的中垂线OD上。假设重心为C点，OC=a，根据“帕普斯—古尔丁”定理将整个半圆面绕AB轴旋转360°可得一圆球体[3]。

例题3 如图7所示，各处截面均为等腰梯形的质量分布均匀物块，上底DE长l，下底AB长2l，高为 l，倒放置在一斜面OM上，其截面与纸面平行，斜面OM可绕垂直于纸面且过O点的轴转动，缓缓抬高斜面M点，当斜面与平面成θ角时，物块恰好翻转，求θ的大小。

解析 由等腰梯形截面为轴对称图形可知物块的重心C一定在对称轴QK上，QK为AB的垂直平分线。设CQ长为α，绕AB轴旋转等腰梯形ABDE360°可得一立体几何图形，根据“帕普斯—古尔丁”定理有[3]：

4    总   结

“帕普斯—古尔丁”原理在古希腊时期就被哲学家用思辨的方法发现了，该原理比较容易被中学生所理解。把该原理应用于处理均匀刚体重心问题时，有效地简化了计算过程，并且避开了微积分的计算手段。为学生处理物理问题提供了一个新的方法。

参考文献：

[1]郜舒竹，徐春华.对旋转体体积的再认识[J].数学通报，2005，44（1）：54-56.

[2]郜舒竹，刘莹.用“帕普斯—古尔丁定理”解释“喇叭悖论”[J].数学的实践与认识，2007，37（8）：175-179.

[3]陈玉奇.巧用巴普斯定理求物体的质心[J].物理教学探讨，2012，30（11）：62-63.

（欄目编辑    罗琬华）