Poincare不等式在Poisson方程弱解中的应用

曲莉 王蕊

摘 要：本文運用具体实例，给出了Poincare不等式在证明Poisson方程弱解中泛函极值元的存在性、弱解的存在唯一性、全局正则性等方面的应用。

关键词：Poincare不等式 存在性 唯一性 正则性

Poisson方程是线性椭圆形方程的理论中的重要组成部分，尤其是在计算Poisson方程的弱解中，Poincare不等式起到了承上启下的作用，特别在处理泛函极值元的存在性、弱解的存在唯一性、全局正则性的证明中都有着十分重要的作用。

一、Poincare不等式

设，为一有界区域.

（1）若，则。

（2）若满足局部的Lipschitz条件，

则

其中是依赖于和的常数，，这里我们用表示的测度。

1.Poisson方程

设是一有界区域，其边界分片光滑。在上考虑Poisson方程，其中，为维Laplace算子。

即

2.如果对任何，积分等式都成立，则称函数为Poisson方程的弱解。

3.应用举例

（1）泛函极值元的存在性.

例1：证：设则在上有下界.

证明：由的Poincare不等式，若

则

即

带的不等式即

，有

，为任意常数.若取，使得

而，此即在上有下界。

（2）弱解的存在唯一性

例2：对任何，Poisson方程的Dirichlet问题

其中是一有界区域，其边界分片光滑，算子，而，恒存在唯一的弱解。

证明：（1）根据poisson方程和齐边值条件可得，存在弱解.

（2）下面对唯一性进行证明

设均为的弱解，由弱解的定义：

，

由中的稠密性

又有，

令

特别地，，则

由此，

再由Poincare不等式，也有

故，从而

即，唯一性得证.

（3）全局正则性

例3：设则，且

①

令、，有

单位分解

于是，，

，

取

②

由有

③

由有

由有

结语

利用Poincare不等式解决Poisson方程弱解的相关问题，会更加的简单方便，例如，当证明泛函极值元存在时，可用Poincare不等式来缩小范围找到下界，即可以解决用单调有界原理不能解决的问题。在某种方式上，运用Poincare不等式解决各类方程解的存在唯一性以及正则性时会更加地简洁方便。

参考文献

[1Adams RA.Sobolev space.NEW York-San Francisco-London：Academic Press，1975（中译本：RA Adams.索伯列夫空间.人民教育出版社，1981）

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[4]范钦杰，付军.数学分析问题解析[M].长春：吉林人民出版社，2004.

[5]尹景学，王春朋，杨成荣.数学物理方法[M].长春：高等教育出版社，2010：162-164.

作者简介

曲莉（1995.10—），女，汉族，学历：在读研究生，研究方向：应用数学，单位：吉林师范大学，籍贯：吉林省德惠市。