单层球面网壳结构随机地震响应与可靠度分析

徐军　袁子豪

摘   要：为评价单层球面网壳结构抗震性能，需充分考虑地震激励的随机性以及非平稳性. 结合概率密度演化方法，可得到单层球面网壳结构动力响应的概率信息及可靠度.首先，采用谱表示-随机函数方法，生成符合不同设防要求的全非平稳地震动，其平均反应谱与规范反应谱拟合效果理想，通过概率密度演化方法考察了单层球面网壳结构最大位移的概率密度演化全过程;进一步地，分别从宏观和微观层次上选取2个失效评价指标，通过引入等效极值分布思想，可获得单层球面网壳结构抗震可靠度分析所关心的动力响应极值分布;最后通过参数分析，评价了不同参数对单层球面网壳结构抗震可靠度的影响. 与传统方法相比，本文方法从随机性的角度评价网壳结构的抗震性能更加合理，并且兼顾了效率和精度.

关键词：单层球面网壳;地震动;概率密度演化;随机动力响应;动力可靠度

中图分类号：TU393.3                             文献标志码：A

Stochastic Seismic Response and Reliability Analysis of

Single-layer Spherical Reticulated Shells

XU Jun，YUAN Zihao

（College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract： To evaluate the seismic performance of single-layer spherical reticulated shell， the randomness and non-stationarity of seismic excitations need to be sufficiently taken into account. In conjunction with the probability density evolution method （PDEM）， the probabilistic information of dynamic response and reliability can be readily obtained. First， the random function based spectral representation method is employed to model the fully non-stationary seismic ground motions， which meets the requirements of different fortifications. Moreover， the average response spectrum accords well with the target response spectrum. Then， the instantaneous probability density evolution process of the shells maximum displacement is investigated from the perspective of PDEM. Further， two indices， which characterize the failure of the shell structure， are selected from macro and micro levels， respectively. By introducing the idea of equivalent extreme-value event， one can obtain the extreme value distribution of response for seismic reliability analysis. Finally， through carrying out the parametric analyses， the effect of different parameters on the seismic reliability of the shell can be evaluated. Compared with the traditional methods， the proposed method can evaluate the seismic performance of single-layer spherical reticulated shells from the perspective of randomness， which is much more reasonable. Besides， the tradeoff of efficiency and accuracy can be also ensured.

Key words： single-layer spherical reticulated shell;ground motion;probability density evolution method;stochastic dynamic response;dynamic reliability

網壳结构因造型优美、受力性能良好而被广泛应用于诸多重大工程.随着设计理论和建造技术的发展，其跨度在不断增大，大跨度网壳在强震作用下的力学性能受到众多学者关注[1-8]. 其中，相当一部分研究集中于揭示单层球面网壳在地震荷载作用下的失效机理，并已取得较为系统的研究成果：针对动力失稳，文献[3-5]从微观到宏观层次上提出了应力变化率法、特征位移响应法以及特征能量法等;针对强度失效，文献[6]提出了以结构的特征响应为判定指标（如最大节点位移和塑性杆比例等）;文献[7]提出了基于能量和最大变形的双控准则;文献[8]基于大量统计数据建立了损伤模型，通过损伤因子判定结构失效与否. 综上所述，地震作用下网壳结构失效机理的研究已基本形成完整的理论框架，如何充分利用已有成果，成为今后的任务之一.

另一方面，目前针对复杂结构的抗震分析，往往只选择几条实际地震记录及人造地震波进行确定性动力分析.然而，地震动具有显著的随机性，这使得工程结构的响应性态难以把控，特别当地震随机性与网壳结构非线性相耦合时，问题将变得更为复杂. 在这种情形下，如何准确把握结构地震响应精细的概率信息显得尤为重要，换言之，我们须考察单层球面网壳结构在随机地震激励下的响应. 于1950年左右发展起来的随机振动方法较为充分地考虑地震发生的概率统计特性，然而其计算量巨大，很难应用于工程实践中.从计算力学角度，林家浩教授等对结构的平稳和非平稳随机响应发展了高效精确的算法-虚拟激励法[9].基于此方法，文献[10-11]针对大跨空间结构逐步推导了多维、多点非平稳地震动虚拟激励法的计算公式. 尽管如此，虚拟激励法本质上并不适用于强非线性结构. 21世纪初，李杰和陈建兵从物理随机系统的基本思想出发，提出广义概率密度演化方程，为复杂工程结构非线性随机动力响应及可靠度分析提供了新的途径[12].

此外，为进行随机地震响应分析，如何建立随机地震动模型是关键.其中，谱表示方法由于其理论完善、易于实现而在工程实践中被广为应用.在谱表示方法基础之上，刘章军等[13]仅用一或两个基本随机变量构造正交随机函数来模拟随机地震动，从而达到降维目的，大大降低计算工作量.结合概率密度演化方法，可实现复杂工程结构的随机地震响应和可靠度分析.本文从随机动力响应来考察单层球面网壳的抗震性能，采用谱表示-随机函数方法模拟全非平稳随机地震动，结合概率密度演化方法计算单层球面网壳随机地震响应和动力可靠度.

1   非平稳随机地震动模型

1.1   谱表示-随机函数方法

（1）

这里{Xk，Yk}为一组标准正交随机变量，需满足：

基于随机函数的思想，假设一组标准正交随机变量{Xn，Yn}[13]：

（3）

式中：cas（·）=cos（·）+sin（·），为Hartley正交基函数;？专1和？专2表示区间[0，2π]上相互独立的基本随机变量. {Xn，Yn}经过某种特殊的随机映射方式可得到{Xk，Yk}. 通过这一处理，随机过程的随机度从∞→2N→2，从而极大地降低问题的分析难度.

式（1）中，Sa（t，ω）为演变功率谱函数，可表示为：

其中S（ω）为平稳过程功率谱密度函数，本文采用Clough和Penzien提出的双过滤白噪声模型[14]：

（5）

式中：ωg和ξg分别表示场地土的卓越圆频率和阻尼比，ωg = 2π/Tg，Tg和ξg可通过查询《建筑抗震设计规范》（GB50011—2010）[15]得到;ωf和ξf分别为第2过滤层的卓越圆频率和阻尼比，文献[16]建议取ωf = 0.1ωg，ξf = ξg;S0为谱强度因子，可表示为：

这里amax为地震动峰值加速度平均值，取200 cm/s2;γ为峰值因子，为符合规范要求，取值参考文献[16]. 本文采用文献[16]建议的时-频调制函数：

式中：

这里b = a + 0.001，c = 0.005，a可参考文献[16].

1.2   地震动样本及反应谱拟合

考虑抗震设防烈度为8度，场地类别为Ⅲ类，设计地震分组为第2组，结构阻尼比为0.02，其它参数按文献[16]选取. 主要步骤如下：

①按照华罗庚-王元的数论方法[17]在[0.2π）×[0.2π）对基本随机变量？专1和？专2取点，本文取点总数为610，并基于Voronoi域[12]对样本点进行概率剖分，计算赋得概率;

②按式（3）生成标准正交函数{Xn，Yn}样本，然后利用Matlab的rand（‘state，0）和randperm（N）映射得到{Xk，Yk}样本;

③应用式（1）得到地震动时程代表性样本.

取截断频率ωu = 240 rad/s，N = 1 601，Δω = 0.15 rad/s，地震动持时为30 s，时间间隔为0.01 s. 图1为演变功率谱密度图. 由图1可知：能量主要集中于50 rad/s以内，峰值大致出现在6～7 s左右. 图2为两条地震动样本，样本在时域和频域上具有典型的非平稳特征.

图3给出本文方法与经典谱表示方法（610条随机样本）所计算得到的时程样本均值、标准差与目标值的对比图. 经计算，采用本文方法和经典谱表示方法所得的均值误差的最大范数分别为0.003 6和9.224 8，标准差相对误差二范数分别为1.68%和2.98%.可见：与经典谱表示方法相比，本文方法得到的均值及标准差与目标值拟合更好.另一方面，目前各类结构抗震设计规范均以反应谱作为地震动输入的依据，通常平均反应谱与规范反应谱有一定的拟合精度要求. 图4（a）为610条地震动代表性样本平均反应谱与规范反应谱的对比图，可见二者之间差异较大，在长周期部分差异更为明显. 对于高层建筑或大跨结构的抗震设计，长周期地震动分量起着十分重要的作用，因此，长周期部分反应谱的拟合需有较高精度[18]. 文献[19]提出一种简单的修正方法，效果显著. 图4（b）为采用本文方法修正后平均反应谱与目标反应谱的对比图，可知：经过修正得到的平均反应谱与目标反应谱拟合效果十分理想，其中平均誤差和最大误差分别为1.7%和8.4%.

2   单层球面网壳随机地震响应分析

2.1   结构模型描述

本文采用K8型单层球面网壳为计算模型，其平面图和立面图如图5所示. 相关参数设置如下：跨度L = 60 m，矢跨比f/L = 1/3，底部支承处为三向固定铰接，上部杆件间均为刚接;所有杆件截面尺寸设置为？椎114 mm × 3 mm;材料选弹塑性钢材，其屈服强度为235 MPa，弹性模量取E = 2.06 × 105 MPa，切线模量Et = 0.02E，考虑材料非线性，采用双线性随动强化本构模型（BKIN）;网壳结构表面作用有均布面荷载，其大小为P = 1.8 kN/m2，计算时按静力等效原则将壳体表面荷载转换为节点集中质量凝聚在各质量节点处，用点单元MASS21模拟. 此外，本文采用ANSYS软件计算，选用PIPE20单元，杆件分为3段. 计算过程中采用Rayleigh阻尼，阻尼比ξ = 0.02. 为节约计算成本，地震动持时一般截取地震动时程中较大的前20 s部分，时间增量步长取0.02 s，施加时为三向输入，峰值加速度之比amaxX ∶ amaxY ∶ amaxZ = 1 ∶ 0.85 ∶ 0.65.

2.2   概率密度演化方法

在随机激励作用下，多自由度体系的运动方程可表示为：

式中：M和C分别为质量和阻尼矩阵;f（X）为恢复力向量;，和X分别为相对加速度、速度和位移响应向量;I为单位向量，g（？专，t）代表上述非平稳随机地震动激励.地震动的随机性源于基本随机变量？专 = {？专1，？专2}.

一般来讲，结构系统中的任意物理量，如位移、内力、变形等都是存在且唯一依赖于？专的. 不妨设感兴趣的物理量为：

相应地，该物理量的速度形式可表示为：

基于概率守恒原理，进一步推导可得[12]：

其中，pZ？专（z，θ，t）为t时刻增广系统（z，？专）的联合概率密度函数. 式（12）的初始条件可表示为：

式中：δ为狄拉克函数;z0为确定性的初始值;p？专（θ）为输入随机变量联合概率密度函数.结合运动方程（9），数值求解偏微分方程（12）可得到Z（t）的概率密度演化过程[12]，即：

其中，数值方法采用TVD格式和单边差分格式的线性组合形式，组合系数为0.95.

基于上述方法，本文对单层球面网壳进行610次确定性动力时程分析，通过考察网壳结构的特征响应，如最大节点位移，来反映结构在随机地震作用下力学性能的概率信息.同时，基于经典谱表示方法，按照蒙特卡洛模拟方法（MCS）生成10 000条地震动，输入到结构进行动力时程分析，将计算得到的网壳结构最大节点位移均值和标准差与概率密度演化方法（PDEM）计算结果进行对比，如图6所示. 可见：在4 s以前MCS结果与PDEM结果拟合较好，

4 s以后二者出现一定偏差，不过PDEM结果始终在MCS结果周围波动，且误差在可接受范围之内.

图7给出单层球面网壳结构在[8，11]s范围内最大节点位移的概率密度演化过程. 由图可知，网壳节点最大位移响应的概率分布完全不同于通常假定的正态分布，具有非规则性，演化曲面就像连绵不断的山峰;等概率密度线就像流动的水流，反映了概率在状态空间内的演变.

3   单层球面网壳动力可靠度分析

基于概率密度演化方法，可以得到结构特征响应的概率密度演变信息.然而，为精细化评价结构的可靠性，需给出结构可靠性的概率度量，亦即给出可靠度分析.本文采用文献[20]所提出的等价极值事件的动力可靠度分析方法，结合相应的强度失效评价指标，计算单层球面网壳结构的动力可靠度.

3.1   基于极值分布的动力可靠度分析

对于球面网壳其中某个节点/单元，其动力可靠度可表示为：

中：Xi表示结构特征响应;b为结构失效时对应的阈值;T代表地震动持时;i表示网壳结构的节点/单元号;m表示节点/单元数. 对于首次超越事件的动力可靠度分析，式（15）也可表达为：

壳结构的整体可靠度可表示为：

max（T） =  {{Xi（t）}}，则有：

中p max（x，T）是max（T）的概率密度函数，亦称为等价极值分布.一旦确定网壳结构响应的等价极值分布，即可方便地计算出网壳结构的整体可靠度.

max（T）为仅依赖于基本随机向量？专和时间段[0，T]的随机变量，进一步有：

构造一个时间虚拟过程：

需满足下述条件：

本文选取的虚拟过程形式为[20]：

其中，ω = 2.5π，τ = 1.

类似地，有广义概率密度演化方程

其初始条件为：

则有[12]：

那么，等价极值分布则可表示为：

3.2   数值算例

网壳结构强度失效问题一直以来都是人们研究的热点，正确选取评价指标尤为重要. 本文按照文献[6]的建议，选取最大节点位移和塑性杆比例分别从局部和整体、宏观和微观的角度来刻画网壳结构的力学性能.同时，通过选取不同参数，分别从结构本身、地震动两个角度来研究不同参数对单层球面网壳结构动力可靠度的影响. 拟选取的参数见表1.

为说明本文方法的合理性，在太平洋地震工程研究中心数据库选取符合规范反应谱（抗震设防烈度为8度，场地类别为Ⅲ类，设计地震分组为第2组）要求的40条天然地震动，对编号为N60180303的网壳进行时程分析，将结果与随机地震动作用下的等价极值分布函数（EEVD）曲线进行对比，如图8所示. 天然地震动计算得到的最大节点位移最小值和最大值分别为0.091 2 m和0.282 8 m;塑性杆比例最小值和最大值分别为0.152 8和0.506 6. 結合图8可知：随机地震动计算所得的极值分布可将天然地震动计算结果涵盖在其分布范围内，说明本文所采用的随机地震动在很大程度上可真实地反映实际地震作用.

图9为N60180302、N60180303和N60180304参数下的EEVD曲线. 由图可知，无论是从最大节点位移还是从塑性杆比例的角度，各类场地呈现的结果一致，Ⅳ类场地EEVD曲线分布更偏右. 图10给出对应的累积分布函数（CDF）曲线. 由图可直观看出：在保证其它条件一致的情形下，Ⅱ类场地单层球面网壳结构可靠性更好、Ⅲ类场地次之、Ⅳ场地类最差. 一方面，根据《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）[15]，从Ⅱ类场地到Ⅳ类场地，地基土逐渐偏软，场地土卓越圆频率依次为15.708 rad/s、11.424 rad/s和8.378 rad/s. 结构一阶、二阶圆频率为9.43 rad/s，正好处于卓越频率范围之内且与Ⅳ类场地更为接近;另一方面，根据功率谱分布，从Ⅱ到Ⅳ类场地能量越来越集中，且结构的前两阶主频率正好处于本文地震动功率谱模型的峰值附近，因而对单层球面网壳结构的响应有较大影响.

限于篇幅，针对矢跨比、初始缺陷，本文仅给出一种情形，其它情形皆以可靠度形式列于表2中. 图11为N60180303和N60180503两种参数下的累积分布函数图. 由图可知，在其它参数一致的情形下，矢跨比越小，可靠度越高. 图12为考虑初始几何缺陷（L/300）的情形，采用一致缺陷模态法施加初始缺陷，明显地，缺陷的存在会显著降低结构的动力可靠度.

基于上述分析结果，按照文献[6]提出的强度失效指标，分别选取最大节点位移L/100和塑性杆比例42%为阈值，计算不同情形下结构动力可靠度，如表2所示. 对比分析可见：采用不同阈值得到的可靠度几无明显统一性. 前者从局部最大位移的角度，后者则从整体塑性发展程度的角度来考察可靠度. 如何建立统一的强度失效指标需进一步研究.

值得指出的是，本文中可靠度分析与传统普遍采用的地震易损性分析有着本质区别. 传统地震易损性分析主要步骤为：选定某一性能水准，运用增量动力分析（IDA）方法，对计算结果进行曲线拟合得到在不同地震强度下结构失效概率，进而得到易损性曲线;本文中可靠度分析刻画的是：选定某一地震动强度，通过随机动力响应分析，运用概率密度演化方法得到结构在不同性能水准下的可靠概率，从而得到概率累积分布（CDF）曲线. 此外，地震易损性分析一般按照不同场地及设防要求选取数十条实际地震记录进行分析，然而选取的地震波可能很难同时在场地特性、平均反应谱等方面很好地满足设防要求，并且数十条波的计算结果本质上属于小样本范畴，计算结果精度亦不能保证;而本文采用概率密度演化方法可得到所关心结构响应精细的概率信息，且与蒙特卡洛模拟结果拟合较好，可认为本文方法较地震易损性分析更能精确刻画失效概率.

4   结   论

本文基于谱表示-随机函数思想建立非平稳随机地震动模型，结合概率密度演化方法，提出一种新的单层球面网壳结构抗震分析方法，主要结论如下：

1）引入随机函数，将传统谱表示方法中的基本随机变量数大大降低，减小问题分析难度;采用一定的修正方法，得到符合规范要求的随机地震动，其平均反应谱、一阶统计值及二阶统计值均与目标值拟合较好.

2）基于概率密度演化方法，对单层球面网壳结构进行随机地震响应分析. 结果表明，结构最大位移响应均值和标准差与10 000次蒙特卡洛模拟结果拟合较好，且其概率密度演化过程具有非规则性，不同于常用的正态分布假定.

3）基于极值分布，对单层球面网壳结构进行了动力可靠度分析.结果表明：a）场地类别、矢跨比和缺陷对单层球面网壳结构的动力可靠度均有显著影响，为工程实踐提供重要的技术依据;b）基于最大节点位移和塑性杆比例得到的动力可靠度没有明显的统一性，如何建立统一的强度失效指标是今后单层球面网壳结构抗震可靠度研究的重点之一.

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