内蒙古自治区巴彦淖尔先锋桥整体稳定性分析

张世春

（同济大学建筑设计研究院(集团)有限公司，上海市200092）

0 引言

近年来，科学技术的不断进步，极大地促进了交通工程和建筑工程的理论研究与工程技术的发展，使得高强而轻质的建筑材料、大跨度桥梁、高层建筑和高耸结构等不断涌现。结构设计理论早已超出只按静力和弹性理论进行线性分析的时期，并发展到按动力和弹塑性理论进行非线性分析的阶段，对结构稳定性问题的处理也变得越来越重要。由于大跨度拱桥的整体稳定性对结构安全起着决定性作用，因而须对其进行结构整体稳定性分析。

1 拱桥空间稳定性理论

拱桥的稳定性问题从空间的失稳形态上分为面内失稳和面外失稳。从失稳的受力性质可分为两类：第一类为平衡分支问题，第二类为极值点问题。拱桥是以受压为主的压弯结构，严格来说，拱的失稳皆为第二类失稳。但是拱的第一类稳定性问题，力学情况单纯明确，它的临界荷载可近似代表第二类稳定问题的上限，所以无论在理论分析中还是在工程应用上都占有重要地位。

1.1 线性稳定性分析

线性稳定性法是假定结构和材料均是线性的，结构的内力与外荷载成比例关系，把结构的稳定性分析转化为求解特征值问题，得出的最小特征值就是失稳临界荷载。 在临界荷载下，拱桥结构线性屈曲的平衡方程为：

式中：[KD]为弹性刚度矩阵；[KG]为几何刚度矩阵，只与构件的轴向力有关；{δ}为单元节点位移增量；λ 为荷载稳定系数。式（1）为特征值问题，其最小特征值在工程上才有意义。应用各种迭代方法，如逆矢量迭代法、子空间迭代法等都可以很方便的求解。

1.2 几何非线性稳定性分析

拱桥的几何非线性稳定性分析主要是指在荷载作用下，拱轴线与荷载压力线的偏离问题。因为这种偏离是不可避免的，如施工阶段，压力线随架设过程的不断变化、施工预拱度的设置、各种施工偏差和拱轴线的弹性压缩等。拱桥的几何非线性属于弹性大变形问题，采用全量方法求解，概念明确，易于理解。几何非线性屈曲法假定材料是线性的，考虑结构的梁柱效应及大位移效应，通过增量和迭代相结合的方法求解失稳临界荷载。

拱桥结构的非线性平衡方程可写为：

式中：[K0]为小位移线性刚度矩阵；[KL]为大位移刚度矩阵；[Kσ]为初应力刚度矩阵；{F}为等效节点荷载；{δ}为节点位移。另外，[KL]、[Kσ]是{δ}的函数，所以式（2）为非线性方程组。

非线性方程组的求解采用荷载增量法。荷载从零开始，按照某种增量形式逐步增大到λi{F}。当{δ}开始发散时，λi{F}即为拱桥的极限承载力。通常将非线性方程组写成如下形式：

式中：λn为荷载因子，对其可以假定0=λ0＜λ1＜λ2＜···＜λi＜λn。

在每一个荷载步内对非线性方程（3）进行线性化，可得增量形式的平衡方程：

式中：{Δδ}为节点位移增量；{ΔF}为等效节点荷载增量。

可以设λn=100（一般下承式拱桥达到极限承载力时的稳定系数不大于10）。在每一个载荷步内，为了改进求解精度，可以应用牛顿法进行迭代。结构的极限承载力在开始发散的荷载和此前一级已收敛的荷载之间。如荷载增量步分得较细，可以偏于安全地认为是前一级荷载，而避免更加复杂的计算。

1.3 材料非线性稳定性分析

考虑材料非线性的分析与几何非线性分析基本上是一致的，只不过此时要不断修正各单元的中性轴及材料参数。梁单元的材料非线性分析模型主要有两类：不分层梁和分层梁，其中不分层梁模型主要用于规则的截面，如矩形、圆形等；分层梁单元模型则避免了上述的局限性，其截面形式可任意，而且不同梁层可具有不同材质。

2 国内规范验算要求

2.1 钢筋混凝土拱肋

大跨径拱桥应验算拱顶、拱跨3/8处、拱跨1/4处和拱脚4个关键截面；对于中小跨径拱桥，拱跨1/4处截面可不予验算；特大跨径拱桥除上述4个关键截面外，需视截面配筋情况，另外选择控制截面进行验算。

2.1.1 纵向稳定性

将拱肋换算为相当计算长度的压杆，按轴心受压构件承载力计算公式验算其稳定性：

式中：γ0为结构重要性系数；Nd为拱肋轴向力设计值；φ 为轴压构件稳定系数，按表1取用；fcd为拱肋混凝土材料抗压强度设计值；A为拱肋的截面面积，当纵向钢筋配筋率大于3%时取净截面面积；f'sd为纵向钢筋抗压强度设计值；A's为纵向钢筋截面面积。

2.1.2 横向稳定性

当拱的宽度小于计算跨径的1/20时，应验算拱肋的横向稳定。计算以横系梁联结的拱肋横向稳定时，可近似将其视为长度等于拱轴线长度的平面桁架，根据其支承条件，按受压组合构件确定其横向稳定计算长度和长细比。

在确定横向稳定计算长度和长细比后，可由表1确定轴压构件稳定系数φ，则拱肋的横向稳定性可按式（5）进行验算。

2.2 钢拱肋

2.2.1 实腹式轴压构件

实腹式轴心受压构件稳定性应按式（6）计算：

式中：N为构件轴心压力；φ 为轴压构件稳定系数（取截面两主轴稳定系数的较小者），应根据构件的长细比、钢材屈服强度和截面分类确定；f为抗拉（压）强度设计值。

2.2.2 实腹式单向压弯构件

弯矩作用在对称轴平面内（绕轴）的实腹式压弯构件，其稳定性应按下列规定计算。

表1 钢筋混凝土轴压构件稳定系数φ

（1）弯矩作用平面内的稳定性：式中：N'Ex为参数，N'Ex=π2EA（1.1λx2），其中的λx为绕x轴的长细比，E为弹性模量；φx为弯矩作用平面内的轴压构件稳定系数；Mx为计算构件的最大弯矩；W1x为弯矩作用平面内对较大受压纤维的毛截面抵抗矩；γx为塑性发展系数，本文中取1.05；βmx为等效弯矩系数，本文中取1.0。

（2）弯矩作用平面外的稳定性：

式中：φy为弯矩作用平面外的轴压构件稳定系数；φb为均匀弯曲的受弯构件整体稳定系数，对于闭口截面取1.0；η 为截面影响系数，对于闭口截面取0.7；βtx为等效弯矩系数，本文中取1.0。

2.2.3 实腹式双向压弯构件

弯矩作用在2个主平面内的双轴对称实腹式工字形（含H形）和箱形（闭口）截面的压弯构件，其整体稳定性应按式（9）、式（10）计算：

式中：φbx、φby取1.0；γx、γy取1.05；βmx、βmy、βtx、βty取1.0。

3 巴彦淖尔先锋桥

3.1 工程概况

巴彦淖尔先锋桥为中承式系杆拱桥，是内蒙古自治区巴彦淖尔先锋路跨越黄河总干渠的重要节点。其主桥跨径布置为25 m+100 m+25 m，全长150m，桥宽45.1m。该桥采用钢-混凝土组合梁，钢纵梁及边横梁为H形截面，中横梁及端横梁为箱形截面。主拱为梯形变截面钢箱梁并向内倾斜，主拱间设置2道风撑，边拱为混凝土结构，主、边拱均与拱脚固结。全桥共设40根吊杆和12根系杆，吊杆及系杆均采用钢绞线。具体桥型见图1、图2。

图1 桥梁立面图（单位：cm）

3.2 有限元模型

图2 桥梁截面图（单位：cm）

采用有限元软件Midas/Civil对该桥进行建模，模型中吊杆及系杆采用桁架单元，桥面板及装饰拱采用板单元，其余均采用梁单元模拟；混凝土板与钢梁之间采用弹性连接里的刚接，以模拟板梁之间的剪力件；模型中考虑桩土相互作用，采用节点弹性支承模拟，并利用m法确定其土弹簧系数。本结构模型共有节点6 440个，桁架单元388个，梁单元3 806个，板单元2 064个，截面类型123个，一般支承80个，节点弹性支承2 192个，弹性连接1 181个，刚性连接316个。

有限元结构模型见图3。

图3 有限元结构模型

本文仅对主桥进行了模拟，为考虑引桥部分的影响，将其半跨自重折算成横向线荷载作用于盖梁，计算得线荷载qy=172.57 kN/m；二期恒载（6 cm防水混凝土、4 cm沥青铺装，容重分别取25 kN/m3、17.65 kN/m3）qh=（0.06×25+0.04×17.65）=2.206 kN/m2；将吊杆半径扩大至100倍，即将吊杆刚度放大至10 000倍，再将吊杆密度缩小10 000倍，以保证重量不变，在此情况下计算恒载作用下的吊杆、系杆内力，并将所得内力输入吊杆和系杆作为初始内力；假设初始温度为20℃，温度荷载仅考虑整体升温20℃及整体降温30℃，温度梯度不予考虑；移动荷载包括车道荷载及人行荷载，按规范予以施加，且由软件自动组合以形成最不利布置。

3.3 整体稳定性分析

3.3.1 边拱规范公式验算

边拱采用C40混凝土，抗压强度设计值fcd=19.1MPa。边拱截面为平行四边形，宽度b=1.8m，高度自端部向拱脚渐变增大。边跨计算跨径L为25m，边拱弧长La约为26m。验算截面取跨中和拱脚处2个截面。

边拱纵向稳定性须满足式（5），此处将该式进行简化，忽略钢筋作用，即：

该桥设计安全等级为一级，γ0取1.1。边拱为无铰拱，则l0=0.36La=9.36m，l0/b=5.2，根据表1查得φ=1。轴向力设计值Nd从Midas计算结果中查取，具体计算结果见表2。

表2 边拱纵向稳定性计算表

由表2可知，边拱纵向稳定性满足要求，且富余量很大。

由于混凝土边拱宽度b＞L/20=1.25m，因此无须验算边拱的横向稳定性。

3.3.2 主拱规范公式验算

主拱采用Q345号钢，抗拉（压）强度设计值f为295MPa（板厚30mm、35mm）、265MPa（板厚40mm、50mm），弹性模量E为2.06×108kN/m2。主拱为箱型截面，且截面大小不等，从拱顶至拱脚逐渐变化。主跨计算跨径L为100m，主拱弧长La约为125m。验算截面取拱顶、拱跨3/8处、拱跨1/4处和拱脚4个截面。

按照混凝土拱肋的处理思路，将钢主拱换算为相当计算长度的压杆。由于主拱为无铰拱，且无横竖向支撑，则计算长度l0x=l0y=0.36La=45m。主拱承受着双向弯矩作用，因而应对其进行双向压弯构件的整体稳定性验算。对于双轴对称实腹式箱形截面，其整体稳定性验算应满足式（9）、式（10）。本文中的主拱为单轴对称箱形截面，在此将其简化为双轴对称截面，即主拱宽度取上下截面宽度的平均值。

主拱长细比按公式λ=l0/i计算。对于绕x轴的长细比λx，由于主拱截面不均匀，因而λx取主拱绕x轴的最小回转半径所对应的长细比。经各个截面对比计算，λx应取76.16（见表3，其中的Ix为惯性矩）。主拱截面对x轴属b类截面，故由λx=76.16查表得，φx=0.606。对于绕y轴的长细比λy，同样由于主拱截面不均匀，因而λy取主拱绕y轴的最小回转半径所对应的长细比。经各个截面对比计算，λy应取71.08（见表4，其中的Iy为惯性矩）。主拱截面对y轴属b类截面，故由λy=71.08查表得，φy=0.745。轴向压力N和弯矩Mx、My从Midas计算结果中查取，整体稳定性的具体计算结果见表5。表5中的

表3 长细比λx 计算表

表4 长细比λy 计算表

表5 主拱整体稳定性计算表

由表5可知，各个关键截面的S1和S2均小于抗拉（压）强度f，故主拱的整体稳定性满足设计要求。

3.3.3 Midas 屈曲分析

由于Midas/Civil中的屈曲分析属于线性分析，故全桥整体稳定分析中不考虑温度荷载，且将模型中拱脚、拱顶轴力最大时所对应布置的移动荷载转化为静力荷载，然后在屈曲分析控制中对各静力荷载进行组合并对模型进行分析，计算出拱桥前10阶屈曲模态和相应的稳定安全系数。

计算过程中，自重、二期恒载以及移动荷载均设置为变量。所得拱桥前5阶屈曲模态见图4，拱桥前10阶稳定安全系数的计算结果见表6。

图4 拱桥前5 阶屈曲模态图

表6 拱桥前10 阶稳定安全系数表

从模型屈曲分析的计算结果可以看出，结构的稳定安全系数远大于《铁路桥涵设计规范》（TB 10002—2017）规定的4~5，故本结构不会发生整体失稳，与规范公式验算得出的结论一致。

4 结 语

本文通过规范公式验算和Midas屈曲分析两种方法，对内蒙古自治区巴彦淖尔中承式系杆拱桥进行了整体稳定性分析。分析结果表明，该桥设计满足整体稳定性要求。并且从边拱整体稳定的计算结果来看，其富余量很大。这是由于主拱和边拱与基础固结，而基础水平位移量相对很小，因此主拱拱脚处的水平推力难以传至边拱。若将拱脚与承台以特殊支座连接，或弱化承台下桩顶部的纵向抗侧刚度，以使水平推力更多地传至边拱，则可达到充分利用边拱混凝土抗压性能的效果。