看我“七十二变”——勾股定理面积问题

文 张晓东

（作者单位：江苏省太仓市沙溪实验中学）

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满了魅力。千百年来，各行各业的爱好者们对它的研究从未间断，有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通老百姓，甚至有国家元首。勾股定理反映的是直角三角形的三边数量关系，可以用于解决直角三角形边长问题。在古今中外对勾股定理的证明方法研究中，常见的是拼图法，即采用图形的面积与代数恒等式的关系，通过相互转化来证明。所以在勾股定理问题中，有很多是和图形面积相关的问题。下面就几个面积问题和同学们进行“头脑风暴”。

例1 4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c。现把它们适当拼合，可以得到如图1所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理。你能说明其中的道理吗？请试一试。

图1

【分析】对整个图形的面积可以用两种方法进行计算：大正方形AHEM的面积加上两个直角三角形ABH、HDE的面积；两个正方形ABCG、CDEF的面积加上两个直角三角形AGM、MFE的面积。然后列成等式进行整理即可得证。

解：图形的总面积可以表示为c2+2×ab=c2+ab；也可以表示为a2+b2+2×ab=a2+b2+ab，所以，c2+ab=a2+b2+ab，所以a2+b2=c2。

例2 如图2，字母B所代表的正方形的面积是多少？

图2

【分析】由题可知，在直角三角形中，斜边的平方为169，一直角边的平方为25，根据勾股定理知另一直角边的平方=169-25=144，即为B所代表的正方形的面积。

解：B的面积=169-25=144。

【拓展变化】解决本题的知识点是勾股定理，着重考查了同学们应对知识迁移的能力。本题可拓展变化成下列两个问题：

变式一：图3是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，求最大正方形E的面积。

图3

【分析】根据勾股定理知识很容易得到正方形E的面积等于A、B、C、D四块正方形面积之和47。

变式二：已知，如图4，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形。若斜边AB=3，求图中阴影部分的面积。

图4

【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分面积S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的平方关系。而对于一些与面积有关的问题，运用勾股定理寻找到它们之间的关系，求解会更加方便、快捷。