大学物理中质点系的动量定理及动能定理推导的教学探讨

江军

摘 要 在大学物理中有二个重要定理：质点系动量定理、质点系动能定理。这二个定理均可以从牛顿第二定律和微积分知识严格地推导出来，从而可以让学生对这二个定理有更进一步的认识和理解。

关键词 大学物理 质点系 动量定理 动能定理

中图分类号：O313.2文献标识码：A

1质点系的动量定理

凡是学习过物理的学生都知道质点体系的动量定理：任何一个系统，系统所受合外力的冲量等于系统动量的增量。下面给出严格的证明。

1.1单个质点的动量定理

对单个质点而言，假设该质点的质量是m，所受的外力是，其加速度为，根据顿第二定律：

（1）

而                                                                              （2）

由（1）、（2）可得： 在经典力学的范围可以认为m是常量。

从而可等到：（3）   质点所受的元冲量等于质点动量的微分。

如果外力作用在质点上的时间是这段时间间隔内，则对（3）式取定积分：

（4）

其中合外力的冲量，则有：

（5）

即单个质点的动量定理：质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。

1.2质点系的动量定理

假设一个系统由n个质点m1、m2…、mn组成，第1个质点m1所受的合外力是，受到第2个至第n个质点的内力分别是、，第1个 质点末时刻的动量是，初时刻的动量是，则对第1个质点应用单个质点的动量定理（4），显然有：

（5）

同理对第2…n个质点可以列出类似的方程：

=       （6）

……

=   （7）

这n个方程全部相加：考虑到：牛顿第三定律内力总是成对出现，大小相等，方向相反，作用在同一直线上。所以：全部内力的冲量相加后一定等于零，即：

所以最后可得到：

=

简化上述表达式，其中：是系统所受的合外力的冲量

是系统末时刻的动量

是系统初时刻的动量

最后得到：，这就是力学中的质点系的动量守恒定律：一个系统所受的合外力的冲量等于系统动量的增量。

2质点系的动能定理

质点体系的动能定理：对一个系统而言，所有外力的功加上所有内力的功等于系统动能的增量。下面给出严格推导。

2.1单个质点的动能定理

假设一个质点m所受的合外力是，在的作用下质点m沿著任一曲线从A运动到B点，质点在 A点的 速率是v，在B点的速率是v0，是在此路径上一段无限短的位移，则在上外力所做的元功是：

（8）

采用自然坐标系，显然有：

（9）    （注：t表示切线方向，n表示法线方向）

而： （注：ds是位移段上的路程）      （10）

把（9）、（10）带入（8）式可得到：（注意：）

（11）

根据牛顿第二定律：

（12）

将（12）式代入（11）可得到：

（注： ）         （13）

则整个过程中做的总功：

（14）

即，单个质点动能定理：对单个质点而言，所有外力的功等于质点动能的增量。

2.2质点系的动能定理

同样，假设系统由n个质点m1、m2…、mn组成，对第1个质点m1而言，所有外力的做的功是W1，所有内力做的功是w1，则使用单个质点的动能定理（14），可得到：

（15）

同理对第2……n个质点亦可列出类似（下转第147页）（上接第135页）的方程：

（16）

……

（17）

将这n个方程全部相加，

（18）

简化上述表达式，令：

表示系统所有外力的功

表示系统所有内力的功（注：系统所有内力能相互抵消，但所有内力的功是不能相互抵消的）

表示系统在末时刻的动能

表示系统在初时刻的动能

则上述方程（18）可以简化为：

这就是力学中质点系的动能定理：对一个系统而言，所有外力的功加上所有内力的功等于系统动能的增量。

参考文献

[1] 马文蔚，周雨青.物理学（上册）[M].高等教育出版社.

[2] 张三慧等译.哈里德大学物理学[M].机械工业出版社，2009.

[3] 苏继龙.动量定理和质心运动定理的比较教学[J].物理与工程，2012（06）.

[4] 王少灯.在功和动能定理教学中加强参照系和系统的概念[J].郑州轻工业学院学报，1993（12）.