使用相对熵研究花岗岩的损伤演化特征

刘希康，徐金明

(上海大学土木工程系，上海 200444)

外荷作用下岩石的变形破坏过程，本质上是岩石中不同位置、不同类型组分的损伤演变过程，目前多使用试验方法、数值模拟、试验视频分析进行研究。

使用试验方法研究岩石损伤演化过程已经取得很多成果。Paraskevopoulou等[1]使用室内静载试验方法分别在不同静载水平下对灰岩进行破坏试验；Nejati等[2]研究了大理岩、砂岩和灰岩的疲劳损伤演化差异，认为脆性对岩石损伤演化有很大影响；Gautam等[3]基于温度试验，研究了花岗岩的质量损失率、纵波速度、导热系数等随温度的变化；申艳军等[4]分析了冻融循环条件下裂隙端部局部化损伤特征；付小凤[5]基于三轴渗透及声发射试验结果，认为围压是影响砂岩渗透损伤的主要因素。

使用数值模拟研究岩石损伤演化时，Müller等[6]将离散元技术与多面体单元相结合，模拟了单轴压缩条件下盐岩的微观损伤变形行为；Wang等[7]研究了不同均质条件和围压条件下含孔洞岩石的损伤开裂特征；王青元等[8]使用非线性蠕变损伤模型进行了单轴压缩条件下不同尺寸岩样蠕变特征的数值模拟；孙金山等[9]采用颗粒流数值方法模拟了岩石的蠕变损伤演化特征；付金伟等[10]使用有限差分方法模拟了渗流-损伤耦合作用下岩石裂纹萌生、扩展过程。

使用试验视频图像研究岩石损伤演变过程也有一些成果。Tarokh等[11]使用数字图像相关方法对岩石表面损伤演化过程进行了分析；Song等[12]使用数字图像相关方法研究了单轴压缩试验下砂岩试件的损伤演化和裂纹扩展过程；杨小彬等[13]使用数字散斑相关方法研究了岩石的损伤和变形；赵程等[14]使用数字图像相关方法研究了含预制单裂纹的类岩石材料裂纹扩展特征和细观损伤演化机制。

相对熵直接反映了不同组分图像特征的差异，可以用于分析岩石损伤过程中局部特征的变化。虽然孙继平和陈浜[15]利用改进相对熵方法对煤岩图像进行了分类，但总的来说，结合相对熵和试验视频图像研究岩石变形破坏过程的现有成果还不多。本文以室内花岗岩单轴压缩视频图像为基础，在使用灰度分界阈值分割法确定细观组分实际分布基础上，利用相对熵来表征试件的损伤，研究试件整体损伤演变过程的阶段性，分析岩石中不同位置、不同组分在不同演化阶段的损伤特征。

1 图像相对熵的计算

1.1 试验视频获取及其预处理

试样岩石为取自甘肃北山的花岗岩。将现场岩石在室内进行加工，切割成50 mm × 50 mm × 100 mm的试件，并对试件进行打磨。将打磨后的试件放在RMT-150C型岩石力学伺服试验系统进行室内抗压强度试验。试验前，将三台佳能600D摄像机布置在仪器周围。试验过程采用位移控制。使用摄像机拍摄整个试验过程，得到MOV格式的试验视频图像。不同加载时刻花岗岩试件的外观图如图1所示。

为后续处理方便，将试验视频图像转换为AVI格式，提取视频图像中任一时刻的单帧图像，将单帧图像转化为灰度图像。灰度图像中，灰度级是0～255中的整数，平面位置(x,y)处的亮度为I(x,y)，整幅图像亮度是I= {I(x,y)}。

图1 不同加载时刻花岗岩试件外观图

由图1可以看出，100 s时，花岗岩试件未发生损伤破坏；300 s时，试件中部存在一条主裂隙，试件损伤明显，裂隙由中部向两端扩展；500 s时，试件破坏程度加深，主裂隙扩展至两端，两端短裂隙密集并伴有岩石脱落；640 s时，试件失稳破坏，主裂隙完全贯通，左侧爆裂隆起。

1.2 相对熵的计算

将未受荷前某一单帧图像作为基准图像，像素灰度分布概率为X= {x1,x2,…,xn}；将受荷后单帧图像作为对比图像，像素灰度分布概率为Y={y1,y2,…,yn}，xi和yi分别为基准图像和对比图像灰度图像中灰度级水平i的出现次数。相对熵定义为：

(1)

由式(1)可知，如果两幅图像无差别(概率分布X=Y)，相对熵为0；如果两幅图像有差别(概率分布X≠Y)，相对熵不为0。两幅图像的相对熵大小直接反映了图像对应像素的差异：相对熵越大，两幅图像的像素差异越大。

1.3 相对熵与损伤的关系

式(1)中xi是固定值，能引起yi改变的因素均能引起D的改变，二者呈负相关关系，即yi相对xi越大，该灰度水平i的计算结果就越小。单轴压缩试验条件下岩样表面会发生变形和破裂。对于视频图像而言，变形即像素点的移动，破裂为非连续变形。假如截取区域位置不变，变形则使截取图像灰度像素分布概率发生改变；破裂意味着截取图像中裂隙灰度像素分布概率会大幅增加。由于截取图像像素总数恒定，非裂隙灰度的像素分布概率也会发生改变。因此，变形和破裂均会引起相对熵D的改变，且岩石破裂引起的改变程度更大。

现有研究成果[16-18]使用损伤变量描述岩石损伤，把损伤变量定义为缺陷面积(裂隙和空隙面积之和)与表观面积的比值。加载初期，缺陷面积采用线性插值方法得到：假设加载初期裂隙面积呈线性增加，选取裂隙阈值分割效果较好对应时刻的单帧图像计算缺陷面积与损伤变量；该时刻之前损伤变量采用插值法计算；该时刻之后损伤变量按面积比计算。选取6个时刻的单帧图像作为对比图像，计算对比图像的损伤变量与基准图像间的相对熵，计算结果如表1所示。

表1 损伤变量和相对熵的比较

由表1可知，在单轴压缩试验过程中花岗岩试件损伤变量和相对熵的变化趋势相似、均在375 s和625 s急剧增大，说明相对熵反映了试件表面的损伤程度，可作为损伤特征参数来描述岩石在受荷条件下的损伤演化过程。

2 花岗岩损伤演化过程分析

2.1 试件整体的损伤演化特征

单轴压缩试验下花岗岩试件全局区域损伤演化过程相应的相对熵计算结果如图2所示。

图2 花岗岩试件的损伤演化过程

根据图2，单轴压缩试验下的花岗岩损伤演化过程可分为以下5个阶段：

(1)阶段I：为裂隙密实阶段(第0～70秒)。在这一阶段，花岗岩试件微裂隙逐渐闭合密实，试件未发生损伤。

(2)阶段II：弹性变形阶段(第71～200秒)。这一阶段试件变形为弹性变形，是晶粒弹性变形的宏观体现，试件未发生损伤。

(3)阶段III：损伤开始阶段(第201～320秒)。在这一阶段，岩石中新生微裂隙开始产生并逐渐积累，表面微裂隙扩展为宏观裂隙。

(4)阶段IV：损伤加速阶段(第321～570秒)。此阶段微裂隙加速扩展，表面宏观裂隙相互贯通。

(5)阶段V：损伤结束阶段(第571～657秒)。此阶段花岗岩完全失稳破坏。

由图2可知，在阶段I和II，花岗岩试件微裂隙闭合密实，相对熵较为平稳且数值近似为0，这是由于在阶段I和II中试件还未发生损伤，相对熵差异并不明显；在阶段III，开始时相对熵小幅波动，在260 s时试件表面裂隙开始产生、相对熵由平稳波动变为急剧增长，可以作为试件损伤的启动时刻；在阶段IV，微裂隙大量产生，表面宏观裂隙逐渐扩展、贯通，相对熵平稳增长；在阶段V，宏观裂隙完全贯通，试件失稳破坏，相对熵再次急剧增长。这些特征进一步表明，相对熵能够有效表征岩石的损伤演化过程。

2.2 不同区域的损伤演化特征

在试件表面不同位置处选取等面积的5个子区域来分析花岗岩试件的局部化损伤特征。选取区域为左下区域A、右下区域B、中心区域C、左上区域D和右上区域E，各子区域在样品中的位置如图3所示。

图3 局部化损伤分析用的5个子区域位置

单轴压缩条件下花岗岩试件5个子区域相对熵计算结果如图4所示。

图4 5个子区域的损伤演化过程

由图4可知，花岗岩试件不同位置的损伤演化与所在位置关系较大：

A：在阶段I，相对熵基本保持平稳(存在一个异常点)；在阶段II，相对熵保持稳定；在阶段III，开始时相对熵平稳波动,在290 s时由平稳波动变为明显增长,可将290 s作为该区域的损伤启动时刻；在阶段IV和V，相对熵逐渐增大。

B、D：相对熵在整个试验过程中始终保持平稳状态，可认为该区域在试验过程中未发生损伤。

C：在阶段I和阶段II，相对熵保持平稳；在阶段III，开始时相对熵保持平稳，在250 s时由平稳波动变为急剧增长，可将250 s作为该区域的损伤启动时刻；在阶段IV和V，相对熵保持较大幅度的波动。

E：在阶段I和II，相对熵保持平稳；在阶段III，开始时相对熵平稳波动，在310 s时相对熵由平稳波动变为明显增长，可将310 s作为该区域的损伤启动时刻；在阶段IV，相对熵波动增长；在阶段V，相对熵急剧减小后又逐渐增大。

综上所述，岩石的损伤从中部开始，先扩展至左下区域，再扩展至右上区域。岩石完全损伤破坏时，各子区域的损伤大小顺序为C>A>E，B、D未发生损伤。这一损伤破坏过程与视频观察到的情况基本一致。

2.3 不同组分的损伤演化特征

提取试验视频中的单帧图像，进行灰度化处理并截取试件区域。为确定不同位置处的组分类型，根据肉眼鉴定结果，采用点选方法确定出不同组分间的分界阈值，得到裂隙-黑云母、黑云母-石英、石英-长石的灰度分界阈值分别为54，172，208。由此得到不同细观组分的实际分布(图5)。

图5 未受荷时不同组分的分布

单轴压缩试验过程中试件表面不同组分相对熵随时间变化的计算结果如图6所示。

图6 不同组分相对熵随时间的变化过程

由图6可知，花岗岩试件全局区域内不同细观组分的损伤演化差别较大：

黑云母：在阶段I至III，相对熵近似为0；在阶段IV，开始时相对熵出现波动，在480 s时相对熵由平稳波动变为明显增长，可将480 s作为黑云母的损伤启动时刻；在阶段V，相对熵波动增长。

石英：在阶段I和II，相对熵先增大后减小；在阶段III，开始时相对熵平稳波动，在290 s相对熵由平稳波动变为急剧增长，可将290 s作为石英的损伤启动时刻；在阶段IV，相对熵先增大后减小且波动幅度较大；在阶段V，相对熵急剧增大后又波动变化。

长石：在阶段I和II，相对熵先增大后减小；在阶段III，开始时相对熵平稳波动，在280 s相对熵由平稳波动变为急剧增长，可将280 s作为长石的损伤启动时刻，此阶段后期相对熵急剧减小；在阶段IV，开始时相对熵平稳波动，随后明显增长；在阶段V，相对熵剧烈波动。

综上所述，组分损伤从长石开始，然后扩展至石英，最后扩展至黑云母；岩石完全损伤破坏时，组分损伤大小顺序为石英>长石>黑云母。该损伤破坏过程与视频记录的情况基本一致。

3 不同区域不同组分损伤演化特征的对比

3.1 黑云母

花岗岩试件不同区域内黑云母损伤演化过程的相对熵计算结果如图7所示。

图7 5个子区域的黑云母损伤演化过程

由图7可知，不同区域内黑云母的损伤演化与所在位置关系较大：

A、B、D：相对熵在整个试验过程中保持平稳波动，可以认为区域内黑云母在试验过程中未损伤。

C：在阶段I和II，相对熵平稳波动；在阶段III，相对熵剧烈波动，在290 s时相对熵由平稳波动变为明显增长，可将290 s作为该区域黑云母的损伤启动时刻；在阶段IV和V，相对熵明显减小。

E：在阶段I和II，相对熵近似为0；在阶段III，开始时相对熵平稳波动，在250 s时相对熵由平稳波动变为急剧增长，可将250 s作为该区域黑云母的损伤启动时刻，此阶段后期相对熵急剧减小；在阶段IV，开始时相对熵平稳波动，在430 s时相对熵急剧增长，可将430 s作为该区域黑云母的损伤加剧时刻；在阶段Ⅴ，相对熵剧烈波动。

综上所述，黑云母的损伤从右上区域开始，然后扩展至中部。岩石完全损伤破坏时，不同区域黑云母损伤大小顺序为E>C，A、B、D区域黑云母未发生损伤。

3.2 石英

花岗岩试件不同区域内石英损伤演化过程的相对熵计算结果如图8所示。

图8 5个子区域的石英损伤演化过程

由图8可知，不同区域内石英的损伤演化与所在位置关系较大：

A：在阶段I和II，相对熵保持平稳波动；在阶段III，相对熵近似为0，在290 s时相对熵由平稳波动变为急剧增长，可将290 s作为该区域石英的损伤启动时刻；阶段IV和V，相对熵持续减小。

B、D：相对熵在整个试验过程中平稳波动，可认为该区域石英在试验过程中未发生损伤。

C：在阶段I和II，相对熵先增大后减小；在阶段III，相对熵明显波动，在250 s时相对熵由平稳波动变为急剧增长，可将250 s作为该区域石英的损伤启动时刻；在阶段IV相对熵逐渐减小；在阶段V，相对熵急剧增大后又波动变化。

E：在阶段I至III，相对熵保持平稳；在阶段IV，开始时相对熵明显波动，在440 s时相对熵由平稳波动变为急剧增长，可将440 s作为该区域石英的损伤启动时刻；在阶段V，相对熵明显减小。

综上所述，石英的损伤从试件中部开始，然后扩展至左下区域，再扩展至右上区域。岩石完全损伤破坏时，不同区域石英损伤大小的顺序为C>E>A，B、D区域石英未发生损伤。

3.3 长石

花岗岩试件不同区域内长石损伤演化过程的相对熵计算结果如图9所示。

图9 5个子区域的长石损伤演化过程

由图9可知，不同区域内长石的损伤演化具有相似的特征：

A：在阶段I和II，相对熵先波动后减小；在阶段III，相对熵先增大后减小；在阶段IV，开始时相对熵平稳波动，在480 s时相对熵由平稳波动变为急剧增长，可将480 s作为该区域长石的损伤启动时刻；在阶段V，相对熵波动增长。

B：在阶段I和III，相对熵平稳波动；在阶段IV，相对熵波动幅度逐渐增大，在530 s时相对熵由平稳波动变为急剧增长，可将530 s作为该区域长石的损伤启动时刻；在阶段V，相对熵先减小后增大。

C：在阶段I和II，相对熵平稳波动；在阶段III，开始时相对熵平稳波动，在280 s时相对熵由平稳波动变为急剧增长，可将280 s作为该区域长石的损伤启动时刻，此阶段后期相对熵急剧减小；在阶段IV，相对熵由平稳波动再次变为明显增长；在阶段V，相对熵波动增长。

D：在阶段I和II，相对熵平稳波动；在阶段III，开始时相对熵平稳波动，在220 s时相对熵由平稳波动变为急剧增长，可将220 s作为该区域长石的损伤启动时刻；在阶段IV，相对熵由平稳波动变为缓慢增长；在阶段V，相对熵急剧下降。

E：在阶段I和II，相对熵平稳波动；在阶段III，开始时相对熵平稳波动，在270 s时相对熵由平稳波动变为急剧增长，可将270 s作为该区域长石的损伤启动时刻；在阶段IV，相对熵由平稳波动变为缓慢增长；在阶段V，相对熵明显减小。

综上所述，长石的损伤从试件上部开始，然后扩展至中部，再扩展至下部。岩石完全损伤破坏时，不同区域长石损伤大小的顺序为A>B>C>D>E。

4 结论

(1)根据试件整体损伤特征，花岗岩损伤演化过程可分为裂隙密实(I)、弹性变形(II)、损伤开始(III)、损伤加速(IV)、损伤结束(V)5个阶段；

(2)根据试件损伤局部特征，岩石试件损伤从中部开始，然后扩展至左下区域，再扩展至右上区域，试件右下和左上区域未发生损伤；

(3)根据试件组分的损伤特征，组分损伤从长石开始，然后扩展至石英，最后扩展至黑云母，组分损伤大小顺序为石英>长石>黑云母；

(4)根据试件不同位置的不同组分损伤特征，花岗岩试件黑云母的损伤从右上区域开始，然后扩展至中部；石英的损伤从中部开始，然后扩展至左下区域，再扩展至右上区域；长石的损伤从上部开始，然后扩展至中部、再扩展至下部。