分段函数可导性的一种新判法

【摘要】函数的可导性问题是高等数学中的一个重点和难点，尤其是分段函数在分段点处的可导性问题。本文以洛必达法则推得一个由导函数判断分段函数分段点处可导性的新方法。

【关键词】洛必达法则 可导性 导函数极限

高等数学中函数在某点处尤其是分段函数在分段点处的可导性判定是个重点也是难点，教材中多以定义判定，但定义法往往不是最简便、最实用的方法。考虑到分段点左右两侧导函数一般都很容易得到，且很多情况下已知某点左右两侧导函数，能否借助导函数来讨论函数的可导性呢？学习完洛必达法则之后，可导出一种新的判定方法。

预备 洛必达法则的适用条件：

由于连续是可导的必要条件，不连续必不可导，连续不一定可导，下面我们由洛必达法则推得连续函数于某点处可导性的判定方法。

定理：设函数f（x）在x0处连续，且在x0的某去心邻域内可导。

证明：由导数的定义，考察函数在某点处可导性，需考察极限存在性。

∵函数f（x）在x=x0连续，

由洛必达法则

定理表明：连续函数在某点处的可导性问题可转化为求该点去心邻域内导函数的极限问题。

∴f（x）在x=0处可导，且f'（0）=0。

用该定理讨论分段函数分段点处的可导性时，常常需要考察分段函数在分段点处两侧邻域内的导函数极限，左极限存在左可导，右极限存在右可导，左右极限都存在且相等则函数于该点可导。

∴函数f（x）在x=0处是连续的

因此f（x）在x=1处连续

以上由洛必达法则推得的一个借助导函数极限判断函数可导性的方法还是较为实用的。提醒注意使用条件，不要死搬硬套。先看是否连续，不连续必不可导，若连续，再查两侧邻域内导函数的极限，极限存在则可导;极限为∞则不可导;极限不存在且非∞定理失效。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系主编  高等数学（第五版，上册）高等教育出版社

[2]馬志敏  高等数学辅导同济大学（同济五版） 中山大学出版社