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概率与统计易错题归类剖析

2019-12-06于建伟

中学生数理化·高三版 2019年2期
关键词:二项式错因年薪

编者的话:同学们在学习的过程中,难免会出现错解的现象。本期“易错题归类剖析”栏目推出的文章,注重剖析错解原因,注重补充知识缺陷,注重题目引申变换,希望同学们认真领会,学以致用,不再发生类似的错解。本期特约河南省项城市第一高级中学的于建伟、尚晓琳两位老师为同学们解读相关知识。愿同学们通过阅读,能从中感悟知识的结构与拓展,把握第19题、第20题的命题特点与趋势。

概率统计板块题型繁多,方法丰富,稍不注意,就会出错,本文选取了部分同学易出错的地方进行辨析,以飨读者。

一、运用两个基本原理时分步分类不全出错

例1 已知集合A=B={1,2,3,4,5,6,7),映射f:A→B满足f(1)

A.C1A3

B.C7

C.77

D.C47 3

错解:因为厂(1)

错因分析:C4中的任何一种方法都没有完成组成映射这件事情,因为只找到1,2,3,4的象,而5,6,7的象还没有确定。

解答提示:由映射的定义知f(1),f(2),f(3),f(4)的值应为{1,2,3,4,5,6,7)中的某4个,又,(1)

例2 现有8人进行乒乓球单打比赛,水平高的总能胜水平低的,欲选出水平最高的两人,则至少需要比赛的场数为______。(用数字作答)

错解:每两人之间比赛一场,需要比赛C8=28(场),填28场。或第一轮分成4对进行比赛,负者被淘汰,胜者进入第二轮,需4场比赛;第二轮分成2对进行比赛,胜者为水平最高的两人,需2场比赛。所以至少需要比赛6场,填6场。

错因分析:前一种解法的错误是没有看清题意,对“至少”一词没有理解好;后一种解法的错误是没有选出水平最高的两人,错误地认为这种淘汰赛最后的两人就是水平最高的两人,实际上第二名有可能在第一轮或第二轮就被第一名淘汰了。

解答提示:先将8人分成4对进行比赛,胜者进入第二轮,需要4场比赛,将进入第二轮的4人分成2对进行比赛,胜者进入第三轮,需要2场比赛,进入第三轮的2人进行比赛,胜者为第一名,需1场比赛;将第一轮、第二轮、第三轮被第一名淘汰的选手共3人决m第一名,需2场比赛。所以至少需要4+2+1+2=9(场)比赛。

复习建议:两个基本原理是学习排列、组合的重要基础,解决两个原理的应用问题,首先要明确所完成的事情是什么,然后再分析每一种做法事情是否完成,从而区分分类计数原理和分步计数原理。运用分类计数原理时,要恰当分类,做到既不重复,又不遗漏;运用分步计数原理时,关键是分好步,需要分析要分几步才能完成。一个比较复杂的问题一般遵循先分类后分步的解题步骤,平时应注意养成一题从多角度来解的习惯。

二、计数时不能准确把握题意出错

例3 用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是——。

错解:将两个奇数数字排好有A2种方法,有三个空当,由于O不能在首位,所以偶数数字的排法有2A2种,所以不同的五位数有2A2.A2 =8(个)。

错因分析:对相邻问题的一般解法不熟悉,错解中的8个是符合题意的,但只是其中一种情况,遗漏了其他情况。

解答提示:分两种情况:(l)若O夹在两个奇数之间,将这三个数字看成一个整体与剩下的两个偶数一起排列有A2种,考虑到1与3可以互换位置所以这种情况有A2.A2 =12(个);(2)若2,4中一个夹在两个奇数数字之间,同上面的想法,共有Cl.Cl.A2· A2=16(个)。所以满足条件的五位数的个数是12+16=28(个)。

三、二项式定理公式的运用出错

复习建议:二项式定理的核心是通项公式,求二项式展开式中的特定项或特定项的系数通常从通项公式人手,所以对通项的理解、记忆和应用是重點。二项式定理是一个恒等式,对待恒等式通常有两种思路:一是利用恒等的多项式对应的系数相等;二是赋值。事实上,二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项式展开式的系数的问题迎刃而解,近几年高考对二项式定理的考查一般为选择、填空题,我们在复习时应有主动应用二项式定理解题的意识。

四、古典概型基本事件的理解出错

例5某人有5把钥匙,其中有l把可以打开房门,但忘记了开门的是哪一把,于是他逐把不重复地试开,那么恰好第3次打开房门的概率是

五、独立事件概念的理解出错

例6 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格。

(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;

(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。

错因分析:相互独立事件的概念理解错误,只有当事件A发生与否对事件B没有任何影响时,才能说A与B相互独立。而错解中,“答对第一题”这个事件发生与不发生对“答对第二题”这个事件有影响。所以它们之间不独立。

解答提示:(l)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,那么对于A:基本事件总数为C10,而考试合格的可能有:①答对2题,共C6C4;②答对3题,共C3。

复习建议:对于等可能性事件的概率,一定要注意分子分母算法要一致,如分母考虑了顺序,则分子也应考虑顺序;将一个较复杂的事件进行分解时,一定要注意各事件之间是否互斥,还要注意有无考虑全面;有时正面情况较多,应考虑利用公式P (A)=1 -P(A);对于A、B是否独立,应充分利用相互独立的定义,只有A、B相互独立,才能利用公式P(A · B)=P(A) · P(B)。还应注意独立与互斥的区别,不要把两者弄混淆。

六、在几何概型中“测度”确定不准出错

例7 如图1所示,在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任意作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM

七、随机变量取值出错

例8 盒子中有大小相同的球10个,其中标号为1的球3个,标号为2的球4个,标号为5的球3个。第一次从盒子中任取1个球,放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)。记第一次与第二次取出的球的标号之和为亭。

(1)求随机变量ξ的分布列;

(2)求随机变量ξ的数学期望。

错解:(l)依题意,ξ的取值是3,6,7,它们所对应的概率分别为0. 24,0.18,0.24,故随机变量ξ的分布列如表l:

错因分析:随机变量ξ的取值不正确,当然伴随着概率之和也不等于1,由于两次可能取到相同标号的球,所以随机变量ξ的取值应为2,3,4,6,7,10。

解答提示:(1)由题意可得,随机变量ξ的取值是2,3,4,6,7,lO。因为P(ξ=2)一0.3×0.3=0. 09,P(ξ=3)=2×0.3×0.4=0. 24,P (ξ=4)=0.4×0.4=0.16,P (ξ=6)=2×0.3×0.3-0.18,P(ξ=7)=2×0.4×0. 3=0. 24,P(ξ=10)=0.3×0.3=0.09。故随机变量ξ的分布列如表2:

(2)随机变量ξ的数学期望E(ξ)=2×0. 09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2。

复习建议:离散型随机变量的分布列、数学期望与方差是概率统计的重点内容。求离散型随机变量的分布列的步骤是:(1)根据问题实际找出随机变量ξ的所有可能值xi;(2)求出各个取值的概率P(ξ=xi)=Pi;(3)画出表格,填人相应数字。其中随机变量ξ的取值很容易出现错误,解题时应认真推敲,对于概率通常利用所有概率之和是否等于1来进行检验。期望与方差的计算公式,尤其是方差的计算公式较为复杂,要在理解的基础上进行记忆。

八、统计图表识图出错

例9 图3所示的是某公司(共有员工300人)2012年员工年薪情况的频率分布直方图,由此可知,员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的大约有

人。

错解:由频率分布直方图知,员工中年薪在1.4万元-1.6万元之间的频率为1(0.02+0. 08+0. 10+0. 10+0.08) =0.62.

所以估计年薪在1.4万元~1.6万元之间的员工约有300×0. 62 =186(人)。

错因分析:本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义,频率分布直方图中,纵轴(矩形高)表示“频率/组距”,每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率,由于概念不清,识图不准,导致计算错误。

解答提示:由所给图形可知,员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为1(0. 02+0.08+0.08+0.10+0.10)×2 =0. 24。所以员工中年薪在1.4万元-1.6万元之间的共有300×0. 24=72(人)。

九、统计抽样概念理解出错

例10 样本总体中有100個个体,随机编号为0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…,10,现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定:如果在第1组抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同。若m=6,则在第7组中抽取的号码是__________。

错解:由于m=6,k=7,因为m+k=13,它的个位数字是3,所以在第7组中抽取的号码是73。或这样解答:由于第1组抽取的为6号,则第2组抽取的为16号,…,第7组抽取的为66号。

错因分析:答案为73的错因是:第7组中个体的号码错误,第7组应为61,62,…,69。答案为66的错因是:死套课本上介绍的方法,不管问题实际。

解答提示:因为m=6,k=7,所以m+k=13,它的个位为3,依题意第7组的号码为61,62,…,69。所以第7组抽取的号码应为63。

复习建议:对于抽样方法及统计案例,近几年高考都有考查,平时学习应以基础知识为主。抽样方法主要是概念的理解,总体分布的估计重点是理解统计图表的含义,统计案例重在理解统计解决问题的思想方法。

(责任编辑 王福华)

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