概率与统计易错题归类剖析

编者的话：同学们在学习的过程中，难免会出现错解的现象。本期“易错题归类剖析”栏目推出的文章，注重剖析错解原因，注重补充知识缺陷，注重题目引申变换，希望同学们认真领会，学以致用，不再发生类似的错解。本期特约河南省项城市第一高级中学的于建伟、尚晓琳两位老师为同学们解读相关知识。愿同学们通过阅读，能从中感悟知识的结构与拓展，把握第19题、第20题的命题特点与趋势。

概率统计板块题型繁多，方法丰富，稍不注意，就会出错，本文选取了部分同学易出错的地方进行辨析，以飨读者。

一、运用两个基本原理时分步分类不全出错

例1 已知集合A=B={1，2，3，4，5，6，7），映射f：A→B满足f（1）

A.C1A3

B.C7

C.77

D.C47 3

错解：因为厂（1）

错因分析：C4中的任何一种方法都没有完成组成映射这件事情，因为只找到1，2，3，4的象，而5，6，7的象还没有确定。

解答提示：由映射的定义知f（1），f（2），f（3），f（4）的值应为{1，2，3，4，5，6，7）中的某4个，又，（1）

例2 现有8人进行乒乓球单打比赛，水平高的总能胜水平低的，欲选出水平最高的两人，则至少需要比赛的场数为______。（用数字作答）

错解：每两人之间比赛一场，需要比赛C8=28（场），填28场。或第一轮分成4对进行比赛，负者被淘汰，胜者进入第二轮，需4场比赛;第二轮分成2对进行比赛，胜者为水平最高的两人，需2场比赛。所以至少需要比赛6场，填6场。

错因分析：前一种解法的错误是没有看清题意，对“至少”一词没有理解好;后一种解法的错误是没有选出水平最高的两人，错误地认为这种淘汰赛最后的两人就是水平最高的两人，实际上第二名有可能在第一轮或第二轮就被第一名淘汰了。

解答提示：先将8人分成4对进行比赛，胜者进入第二轮，需要4场比赛，将进入第二轮的4人分成2对进行比赛，胜者进入第三轮，需要2场比赛，进入第三轮的2人进行比赛，胜者为第一名，需1场比赛;将第一轮、第二轮、第三轮被第一名淘汰的选手共3人决m第一名，需2场比赛。所以至少需要4+2+1+2=9（场）比赛。

复习建议：两个基本原理是学习排列、组合的重要基础，解决两个原理的应用问题，首先要明确所完成的事情是什么，然后再分析每一种做法事情是否完成，从而区分分类计数原理和分步计数原理。运用分类计数原理时，要恰当分类，做到既不重复，又不遗漏;运用分步计数原理时，关键是分好步，需要分析要分几步才能完成。一个比较复杂的问题一般遵循先分类后分步的解题步骤，平时应注意养成一题从多角度来解的习惯。

二、计数时不能准确把握题意出错

例3 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是——。

错解：将两个奇数数字排好有A2种方法，有三个空当，由于O不能在首位，所以偶数数字的排法有2A2种，所以不同的五位数有2A2.A2 =8（个）。

错因分析：对相邻问题的一般解法不熟悉，错解中的8个是符合题意的，但只是其中一种情况，遗漏了其他情况。

解答提示：分两种情况：（l）若O夹在两个奇数之间，将这三个数字看成一个整体与剩下的两个偶数一起排列有A2种，考虑到1与3可以互换位置所以这种情况有A2.A2 =12（个）;（2）若2，4中一个夹在两个奇数数字之间，同上面的想法，共有Cl.Cl.A2· A2=16（个）。所以满足条件的五位数的个数是12+16=28（个）。

三、二项式定理公式的运用出错

复习建议：二项式定理的核心是通项公式，求二项式展开式中的特定项或特定项的系数通常从通项公式人手，所以对通项的理解、记忆和应用是重點。二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等的多项式对应的系数相等;二是赋值。事实上，二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项式展开式的系数的问题迎刃而解，近几年高考对二项式定理的考查一般为选择、填空题，我们在复习时应有主动应用二项式定理解题的意识。

四、古典概型基本事件的理解出错

例5某人有5把钥匙，其中有l把可以打开房门，但忘记了开门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，那么恰好第3次打开房门的概率是

五、独立事件概念的理解出错

例6 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。

（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率;

（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。

错因分析：相互独立事件的概念理解错误，只有当事件A发生与否对事件B没有任何影响时，才能说A与B相互独立。而错解中，“答对第一题”这个事件发生与不发生对“答对第二题”这个事件有影响。所以它们之间不独立。

解答提示：（l）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，那么对于A：基本事件总数为C10，而考试合格的可能有：①答对2题，共C6C4;②答对3题，共C3。

复习建议：对于等可能性事件的概率，一定要注意分子分母算法要一致，如分母考虑了顺序，则分子也应考虑顺序;将一个较复杂的事件进行分解时，一定要注意各事件之间是否互斥，还要注意有无考虑全面;有时正面情况较多，应考虑利用公式P （A）=1 -P（A）;对于A、B是否独立，应充分利用相互独立的定义，只有A、B相互独立，才能利用公式P（A · B）=P（A） · P（B）。还应注意独立与互斥的区别，不要把两者弄混淆。

六、在几何概型中“测度”确定不准出错

例7 如图1所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM

七、随机变量取值出错

例8 盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个。第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取出的球的标号之和为亭。

（1）求随机变量ξ的分布列;

（2）求随机变量ξ的数学期望。

错解：（l）依题意，ξ的取值是3，6，7，它们所对应的概率分别为0. 24，0.18，0.24，故随机变量ξ的分布列如表l：

错因分析：随机变量ξ的取值不正确，当然伴随着概率之和也不等于1，由于两次可能取到相同标号的球，所以随机变量ξ的取值应为2，3，4，6，7，10。

解答提示：（1）由题意可得，随机变量ξ的取值是2，3，4，6，7，lO。因为P（ξ=2）一0.3×0.3=0. 09，P（ξ=3）=2×0.3×0.4=0. 24，P （ξ=4）=0.4×0.4=0.16，P （ξ=6）=2×0.3×0.3-0.18，P（ξ=7）=2×0.4×0. 3=0. 24，P（ξ=10）=0.3×0.3=0.09。故随机变量ξ的分布列如表2：

（2）随机变量ξ的数学期望E（ξ）=2×0. 09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2。

复习建议：离散型随机变量的分布列、数学期望与方差是概率统计的重点内容。求离散型随机变量的分布列的步骤是：（1）根据问题实际找出随机变量ξ的所有可能值x_i;（2）求出各个取值的概率P（ξ=x_i）=P_i;（3）画出表格，填人相应数字。其中随机变量ξ的取值很容易出现错误，解题时应认真推敲，对于概率通常利用所有概率之和是否等于1来进行检验。期望与方差的计算公式，尤其是方差的计算公式较为复杂，要在理解的基础上进行记忆。

八、统计图表识图出错

例9 图3所示的是某公司（共有员工300人）2012年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的大约有

人。

错解：由频率分布直方图知，员工中年薪在1.4万元-1.6万元之间的频率为1（0.02+0. 08+0. 10+0. 10+0.08） =0.62.

所以估计年薪在1.4万元～1.6万元之间的员工约有300×0. 62 =186（人）。

错因分析：本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义，频率分布直方图中，纵轴（矩形高）表示“频率/组距”，每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率，由于概念不清，识图不准，导致计算错误。

解答提示：由所给图形可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1（0. 02+0.08+0.08+0.10+0.10）×2 =0. 24。所以员工中年薪在1.4万元-1.6万元之间的共有300×0. 24=72（人）。

九、统计抽样概念理解出错

例10 样本总体中有100個个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定：如果在第1组抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同。若m=6，则在第7组中抽取的号码是__________。

错解：由于m=6，k=7，因为m+k=13，它的个位数字是3，所以在第7组中抽取的号码是73。或这样解答：由于第1组抽取的为6号，则第2组抽取的为16号，…，第7组抽取的为66号。

错因分析：答案为73的错因是：第7组中个体的号码错误，第7组应为61，62，…，69。答案为66的错因是：死套课本上介绍的方法，不管问题实际。

解答提示：因为m=6，k=7，所以m+k=13，它的个位为3，依题意第7组的号码为61，62，…，69。所以第7组抽取的号码应为63。

复习建议：对于抽样方法及统计案例，近几年高考都有考查，平时学习应以基础知识为主。抽样方法主要是概念的理解，总体分布的估计重点是理解统计图表的含义，统计案例重在理解统计解决问题的思想方法。

（责任编辑 王福华）