反思在初一数学解题教学中的应用例谈

东华初级中学 胡 嫣

数学解题教学是数学教学的重要组成部分，解题教学的效果直接影响到数学教与学的质量.在初一数学解题教学中不仅要教会学生如何解题，让学生清楚解题思路的形成过程，经历解题思维的构建过程，让学生反思这个题是为何想到这样去解的，这一点在整个解题教学中至关重要.只有在不断的反思总结中，才会形成有价值的方法经验，实现知识的内化与方法的正迁移，真正达到解题能力的提升.

一、重视进行解法比较，反思不同解法的优缺点

解题后值得反思的内容和方面很多，不同的解题者可能会获得不同的感受，但针对不同的数学问题，可以从不同的角度进行反思，也就是使解题之后的反思有所侧重.对于某些数学问题，可能从不同角度考虑会得出多种解法，那么这些解法就可能有繁有简、有优有劣，这样就可以在反思中对这些解法进行比较，通过反思对解法作出评析，在反思中提高题目的利用价值.

例1已知关于x,y的方程组的解满足3x+2y=19，求m的值.

此题从不同角度思考可得到如下几种解法.

像这种一题多解的题目，教学时不仅要挖掘解法的多样性，还要引导学生对不同解法进行比较和评析.学生经过反思一题多解的情况后发现，解法一，将m看作一个代数，解关于未知数x,y的二元一次方程组，用含m的式子表示出x,y的值后，再代入3x+2y= 19，建立关于m的方程，解出m的数值.解法二，将原方程组中的m消去，得到一个仅关于x,y的二元一次方程，结合已知的3x+2y= 19，求解出x,y的值，再求m的值.对比第一种方法，解法一避免了计算x,y的值，直接求m更加简洁.解法三和解法四都是通过观察已知的三个式子:x+2y= 5m, x-2y= 9m和3x+2y= 19 之间的关系，运用等式的性质，建立关于m的方程，解m的.只是解法三，通过发现了2x的两个不同的表达式;解法四，通过转化发现3x+2y的另一个表达式，建立关于m的方程.这两种方法具有极强的技巧性，十分巧妙，可以锻炼思维的灵活性.但是当遇到不同题时还要根据具体的情况进行灵活的转化与变形，不具一般性，因此解法一更为通俗，可以把解题套路运用到其他题中，达到举一反三的效果.

通过反思对不同解法进行了辩证的比较，了解了这些解法的优劣和互补性，在反思中就收获了不同的解法经验，对不同的解法就有了更深刻的认识和理解，促进了解题思维的形成.此外，经常这样反思一题多解的过程，还可以培养学生对各种解法的鉴赏能力.

二、加强解题思维训练，重视反思典型错误解法

加强解题思维训练是提高解题能力的重要途径，解题思维训练的方式很多，其中对典型错误解法进行反思是一种效果不错的方式.通过对错误思路和方法的反思，促进对同一问题正反面的认识，也因此训练解题思维能力，从另一个角度提高了解题能力.

例2已知实数a,b满足|a+1|= 2, |b+1|= 2，求的值.

学生在解题可能会出现如此解法:

由题意知a,b是方程|x+1|=2 的两解，则，或，所以

此解题过程看起来条理清楚，推理过程有理有据，结果似乎正确，但实际上却有问题.此时教师不宜直接指出解法的错误之处，要引导学生通过反思发现其错误所在.经过对解题过程的反思，可以发现，由方程|a+1|= 2 解出的a的值有2 个，同样b的值也有2 个，那么的值就相应地有2 个(有两组同值)，可见上述解法出现了漏解的情况; 另外，由“实数a,b满足|a+1|= 2, |b+1|= 2”到“a,b是方程|x+1|= 2 的两解”的转化不等价，因为|a+1|= 2, |b+1|= 2 中的a,b是独立的，也就是说a,b可以取相同的值，而在化归为a,b是方程|x+1|=2 的两解后，就忽略了a,b可以表示同一数的情形.通过反思学生清楚了此错误解法是因为转化的不等价造成的，这样就达到了反思的作用.

对于此类具有一定代表性和典型性的错误解法，在解题教学中不仅要利用正确的资源，也要善于对此错误资源加以有效利用，使学生在反思中认清错误的根源，避免再犯同样的错误，同时也使解题更趋合理，有利于培养思维的严谨性和批判性，克服思维定势负迁移的影响，进一步优化思维品质.

三、注意挖掘解题规律，反思解决问题的模式

在解题教学中，要善于挖掘隐含其中的解题规律，对规律和方法加以归纳总结，引导学生反思其解题特点，有效把握其解题规律特征，从而熟悉和掌握一类问题的解题方法，提高解题教学的效率，使反思过程得到优化提升.

例3探究:

(1)如图a，若AB//CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明为什么吗?

(2)反之，若∠B+∠D= ∠E，直线AB与CD有什么位置关系?请证明.

(3)若将点E移至图b 所示位置时∠B,∠D,∠E之间有什么关系?请证明.

(4)若将点E移至图c 所示位置，情况又如何?

(5)在图d 中，AB//CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?

(6)在图e 中，若AB//CD，又得到什么结论?

这是一类夹在两平行线间的折线问题，考查平行线的性质与判定，是基础题，解题关键在过折点作平行线，将复杂的图形分解为基本图形.图a 和图b 中，点E的位置在AB,CD之间，分别是AB，CD的内折线和外折线;图c 将E点位置移到AB,CD同侧; 图d，图e 在AB,CD之间增加折线的条数，探究新的结论，给我们留下了创造性思考的空间.问题解决的关键都是过E点作AB(或CD)的平行线，把复杂的图形化归为如图a 或图b 两种基本图形.

在此解题教学中，一方面要引导学生反思为何过折点作AB(或CD)的平行线，而不作其他的辅助线求解，反思此解题方法思路是如何形成的;另一方面要注意挖掘过折点作平行线的解题规律，反思其中的解题特点，即如何选择有效的理论依据进行说理论证的.

在解题之后，反思其解题方法过程是否可以归结为某种模式，当再次遇到同类问题模式时，便可利用已知的解题策略加以解决，使解题的效应扩大到更广的范围，解题效果也在应用中得到提升.在利用模式识别解决问题时，要对问题属于的模式进行识别和辨认，并在问题的解决过程中寻找、构建恰当的解题模式，进而在解题中提炼出新的问题模式，提升模式识别解题方法的应用水平.

四、关注命题的基本思想，反思其中隐含的思维方法

每一个题目都包含着命题者命制该题的思想，也就是出于什么思考才命制出该题目，该题目想考查何种知识和方法均体现着命题者的思想观念.由于题目必然反映出命题的基本思想，因此在解题教学中，就需要关注命题思想，对其命题思想进行剖析，反思其中隐含的思维方法，搞清其命题意图，这对于提高解题能力是极其有帮助的.

例4

(1)【数形结合思想】有理数a,b,c在数轴上的位置如图2所示，求|a-b|-|a+c|+|b+c|=?

图2

分析:根据图形可以判断出a-b, a+c, b+c的正负，进行去绝对值化简.

(2)【分类讨论思想】解关于x的方程:(a-3)x=b-2.

分析:正确分类讨论x的系数a-3 和b-2 是解决此题的关键.

(3)【整体思想】当代数式x2+2x+3 的值为5 时，求代数式3x2+6x-2 的值是多少?

分析:将x2+2x看作一个整体，其值为2，整体代入求值即可求得3x2+6x-2 的值.

(4)【方程思想】如图3所示，∠1 =4∠2，求∠1 和∠2 的度数.

图3

分析:充分利用图中所隐含的∠1 和∠2 的邻补角关系和倍数关系，设未知数∠2=x，∠1=4x，列方程x+4x=180°，求解x的值.

在解题教学中，不仅教会学生怎样解题，还要引导学生学会关注其命题的思想，从掌握命题思想入手，弄清其考查的解题思维模式，往往问题就会迎刃而解.

通过解题后的反思，明确解题的思想方法，有利于打破定势思维，遇到问题时，能灵活转换思路，或釆取间接迂回的方法接近目标，从而提高数学解题能力.

总之，要养成解题之后的反思习惯，经常对解题方法、解题思路、解题过程、问题模式、解法中所隐含的数学思想方法等进行反思，不断地思考出新的判断，构建起新的知识体系，不断完善认知结构.