核心素养导向下中学生数学运算能力的培养

北京景山学校朝阳学校(100012)衣晓蕾

引言

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《标准(2017年版)》)指出数学运算是数学核心素养之一，是数学活动的基本形式，是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段，也是计算机解决问题的基础.数学运算与核心素养的其它五个构成要素既相互独立，又相互交融，是一个有机整体.在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力; 能有效借助运算方法解决实际问题;能够通过运算促进数学思维发展，养成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.数学运算能力是课程目标之一，是现代人必须具备的一种基本素养.培养学生的运算能力是中学数学教学的重要任务.

1.核心素养视角下的数学运算能力

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:

理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.

数学运算能力具有层次性.在数学发展的历史上，不同类别的运算是由简单到复杂、由具体到抽象、由低级到高级逐步形成和发展起来的.因此对运算的认识和掌握也必须是逐步有序、有层次的.《标准(2017年版)》将中学生的运算能力水平分为三个层次.①运算的准确性——基本要求，②运算的合理、简捷——较高要求，③运算的程序化——高标准要求.因此，中学生数学运算能力的发展，一定要将运算技能上升到能力和思维层次.

数学运算能力具有综合性.运算能力不可能脱离具体的数学知识而孤立存在，也不能离开其他核心素养而独立发展.它与记忆能力、观察能力、理解能力、表达能力以及思维能力等诸多因素互相渗透、协调发展.因而，从运算过程反应的思维品质:深刻性、灵活性、独创性、批判性及敏捷性看，运算能力的发展，需要核心素养的综合发展.

2.影响数学运算能力的因素

笔者通过调查问卷的形式对中学生运算能力进行了调查研究，一方面是更清晰地了解中学生运算能力的现状;另一方面是进行影响中学生运算能力发展的成因分析.

2.1 调查问卷

①您对数学是否感兴趣?

(“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，孔子治学的三种境界突出了好学、乐学的作用.学习兴趣是学习动机中最活跃的心里成分之一，学生对数学的学习兴趣，绝对对运算能力的发展产生影响.)

②您认为什么是运算能力? 常见的运算有哪些?

③您认为运算能力的理解对于数学内容理解有何重大意义?

(调查学生对运算能力的概念、种类、意义是否有了解，是否对运算能力有足够重视.)

④在平时的考试中，有否因运算错误而导致的失分?失分的原因?

(了解学生平时运算能力的情况，促使学生对自身运算能力进行评析.可设置失分原因的选项:审题习惯差，往往只看了一半就动手去做; 书写不规范，数字、运算符号写得潦草，抄错数和符号;没有验算的习惯，题目算完了事;没有掌握法则和运算律正确地进行计算;概念不清，没有真正理解算理和熟练地掌握算法，不能寻求有效的运算途径;不能“灵活运用”法则和运算律解决实问题.)

⑤当发现运算较为繁杂时，您平时是怎么处理的?

⑥您在做数学计算题时，是多依赖笔算还是计算器?

⑦您都是通过哪些方法来提高自己的运算能力的?

(对学生平时运算能力的习惯进行分析，主要包括学生做繁杂运算题的习惯以及克服困难的意志、笔算和计算器的使用分配情况、对自身运算能力安于现状，顺其自然还是会寻求方法如题海战术、对知识结构、方法、技巧进行归纳整理等方法提高运算能力.)

⑧教师面对运算题目，通常采用的讲解方法? 您期望的讲解方法是?

(向学生了解平时教师在教学实践中遇到运算的题目时所采用的方法，调查当前教师对学生运算能力的培养是否足够重视.)

通过对1000 名中学生的网络调查显示，近70%的中学生对数学学习有兴趣，但是对数学运算能力的正确认识不足20%，因计算器、计算机等现代技术的快速发展，学生对培养运算能力的重视程度也不高，仅36%.在考试过程中因运算错误失分的比例高达93%，并且其中绝大多数同学归因于马虎、粗心.面临较为繁杂的运算时，超过43%的学生选择借助工具，11%的学生选择放弃.目前有55%的教师对运算题目的讲解方法是师讲生练，师强调难点、易错点，生靠记忆掌握.而有78%的学生最期望的讲解方法是由学生实践探究，教师点拨或点评.

2.2 影响中学生运算能力发展的成因分析

教师层面:多数教师认为如果把运算方法和运算步骤讲解到位了，学生应该能做对;只要多练，学生的正确率一定能提高，可是效果并非所愿.这种指向解题技能和知识运用的教学，选择的教学起点是例题中的条件与问题，教学过程遵循解答的逻辑步骤，教学内容被“精简”为定理知识和算法技能，学生获得的是固定的计算方式和运算技能.反思这种教学实践，只注重解释“是什么”，只注重思维结果，只注重“学会了什么”，只注重“会解题”，它窄化了教学目标，将教学精简为例题的解答，将学习简化为机械模仿与记忆.

学生层面:学生运算能力发展是基于学生已有的认知结构和现有的思维水平，同时受学生的智力因素与兴趣、动机、习惯、意志等非智力因素的起动、导向、维持和强化等作用共同影响.学生运算题目做错了，往往会简单地把过错归结于粗心，而掩盖真正的原因，忽视实质的问题，从而无法采取相应的弥补措施.事实上，在粗心的表象下，有很多更深层次的原因，表现在不同学生身上，这些原因所占的比例会有不一样.粗心，或是因为对知识掌握的熟练度不够，做不到又快又准;粗心，或因为对知识的基本概念不清楚，未深究概念细节;粗心，或是因为做题习惯有问题，不写步骤或跳步太多，过程不规范或书写不认真;粗心，或是因为做题准确率不高，平时并未力求“一遍做对”.

3.核心素养导向下运算能力的培养策略

数学学科核心素养不是独立于知识、技能、思想、经验之外的“神秘”概念，它是在数学学习过程中逐渐形成的，它综合体现出对数学知识的理解、对数学技能方法的掌握、对数学思想的感悟以及对数学活动经验的积累.[1]

培养学生的运算能力，课堂教学是关键.在实际课堂教学中，不仅要重视“是什么”，更要研究“为什么”，研究该知识又可能“生长出什么”;不仅要注重思维，也要重视思维体验和交流;不仅要注重“学会了什么”，还应重视“怎么学会”的生成;不仅要重视“会解题”，更要注重“解题经验的提炼和辨析”以及“解题的体验”等等.课堂教学中，还需根据每个学生的实际情况，帮助他们在实施运算过程中突破薄弱环节，养成良好的解题习惯，促进学生运算能力的形成和发展.

3.1 从揭示概念本质与知识意义设计运算教学

运算对象及方向的明晰、运算法则的掌握、运算方法的选择、运算程序的设计都是以数学运算为先导的.运算的程序具有一定的形式化、符号化，与数学概念相呼应，并揭示了数学概念之间的内在规律.数学概念是学生发展运算能力的重要载体，要提高运算水平，必须对数学概念有一个透彻的理解.[2]引导学生对数学概念的内涵和外延作分析、下定义，对已知与未知条件进行合理推断，揭示因果关系(由因导果或执果索因)，牢固掌握并灵活运用概念中所表现出的数量化、符号化的内涵.

例如，已知:∠MON= 40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点O重合)，连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x°.

图1

(1)如图1，若AB//ON，则

①∠ABO的度数是_____;

②当∠BAD= ∠ABD时，x=_____; 当∠BAD=∠BDA时，x=_____.

(2)如图2，若AB ⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角? 若存在，求出x的值;若不存在，说明理由.

图2

问题(1)的解决实质上是依据角平分线、平行线的性质定理、三角形内角和定理或外角定理进行的运算.问题(2)是由△ABD为等腰三角形分析，依据等腰三角形的概念进行分类:①当D在线段OB上时，△ABD为等腰三角形且为锐角三角形，有三种情况:∠BAD=∠ABD;∠BAD= ∠ADB;∠ABD= ∠ADB.②当D在射线BE上时，△ABD为等腰三角形且为钝角三角形，只有一种情况:∠BAD=∠BDA.从而通过运算求出4 个x的值.

3.2 从发展学生的数学思维处设计运算教学

设计教学时，应不自觉地运用皮亚杰的认知发展理论，顺应学生学习兴趣;顺应知识本身的逻辑结构;顺应学生原有的认知基础;顺应学生的最近发展区，揭示知识的本质与内在联系，“通性”，“通法”，培养思维的深刻性、广阔性、敏捷性、灵活性、批判性和独创性.比如当学生的思维发展到某一点上出现停滞时，可引导学生另辟蹊径，列举一些矛盾或相近线索，提出一些假想，激发学生强烈的求异思维，学生就会兴致勃勃地去钻研思考，直到有所发现.

例如，已知关于x的方程x3-mx2-2mx+m2-1=0，有且只有一个实根，求实数m的取值范围.

一般解法是把x当成主元，求出x，再对m进行讨论.这种解题过程相当麻烦.这时，可启发学生转换思维，另辟蹊径，把m当成主元，灵活地解决问题.

解:原方程可化为m2-(x2+2x)m+x3-1 = 0，即[m-(x-1)][m-(x2+x+1)]= 0.由题意知，原方程有且只有一个根，所以x2+x+1-m= 0 无实根，故Δ=1-4(1-m)＜0，所以

3.3 从开阔学生运算视野上设计运算教学

运算的多元化，运算过程中对通性通法和简洁算法的追求，有助于开阔学生的运算视野，提高学生对运算的理解.教学中一题多解、一题巧解，将数学运算从解决具体的问题升华到理性的认识，使个体思维更加灵活，运算更加优化.

解法一换元法.令则原方程可化为:y2+y-20=0,(y-4)(y+5)=0，y1=4,y2=-5，(舍去).把y= 4 代入得:解得x1=2,x2=-8.所以原方程的解是x1=2,x2=-8.

解法二因式分解法.所以(舍去).所以x2+6x= 16，解得x1=2,x2=-8.所以原方程的解是x1=2,x2=-8.

解法三因为x2+6x ≥0,x2+6x是的平方，所以原方程可化为所以x2+6x=16，所以原方程的解是x1=2,x2=-8.

3.4 从变式教学中设计运算教学

变式教学是数学教学中常用的方法，知识形成过程中的问题设计，基本概念辨析，定理和公式的推广、例题与习题的引申中都可以合理地采用变式教学，引导学生产生知识的新旧联系和思想方法的迁移，进而激发学生的学习兴趣，发展探究意识，培养思维能力.

例如，如图3，C为线段AB上一动点，过A作AD ⊥AB且AD=3，过B作BE ⊥AB且BE= 1，连结DC、EC，若AB=5，设AC=x.

图3

(1)DC+EC的长为_____.(用含x的式子表示，不必化简);

(2)当点C位置满足_____时，DC+EC的长最小，最小值是_____.

变式(1)通过构图求出的最小值吗?

(2)已 知a ＞0,b ＞0，且a+b= 2，写 出m=的最小值.

3.5 从纠错改错中设计运算教学

错误与疏漏是运算中不可避免的，在实际教学中，允许学生有差错，允许学生试错是符合学生身心发展规律的.出现错误，无需焦虑，也不能一讲到底，应调动学生主动参与的兴趣，从寻找错误原因，到对错误进行剖析，在交流和讨论的过程中，让学生实现自我否定，并建立新的认知平衡.教师还可以收集学生在各类计算中出现的各种错误，并加以分类辨析.制作试题卡，让学生指出错误原因并加以纠正.要提高运算的准确性，就要注重学生运算中推理能力的培养，推理时应养成“讲道理、找根据”的习惯，做到步步有依据，从而促进运算能力的发展.

结语

数学运算在数学教学中是贯穿始终的，并且逐步体现于数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性上.数学教师都应将培养学生运算能力作为数学教学的主要任务之一，发展学生数学运算思维，落实数学运算素养的培育，更精准的理解和把握数学运算的内涵，更深入的探寻数学运算能力的培养策略.学生核心素养的形成，不是依赖单纯的课堂教学，而是依赖学生参与其中的教学活动;不是依赖记忆与理解，而是依赖探究活动中的感悟与思维;它应该是日积月累的、自己思考的经验的积累.[3]突破运算关，除了教师运算求解的示范效应，运算教学的指向作用之外，学生的运算观、态度、习惯和信心也非常重要.让我们在不断创新中让数学教学工作更有成效.