立足书本 精彩演绎 精雕细琢 水到渠成——立足书本精彩演绎精雕细琢水到渠成

温州市龙湾中学 郑寿好

一、前言

《普通高中数学课程标准》(2017 版)中提出:通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称“四基”);提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”).在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养.笔者为了更好地体会与践行《新课标》的理念，于是设计并实施了《三角恒等变换》(人教A 版数学必修4 第3 章)这堂复习课，在设计、实施、反思这堂课后，有诸多体会.

二、教学设计

教材分析

三角变换是传统的三角学的精华之一，具有较高的研究价值，在理论和实际中都有广泛的应用.而三角变换的基础主要就是所学的众多的三角公式以及变换的有关方法、技巧等.在运用公式解题时，需经常对已知条件和结论进行适当的变换，包括角的变换和函数的变换等，还要熟悉化未知为已知及等价化归思想，培养良好的数学学科核心素养.

三角函数恒等变化时高中教学的重要知识之一，也是历年高考必考查的内容.一般考查对公式理解与熟练运用，以及考查运算能力﹑逻辑推理能力，考试类型有应用公式化简求值﹑恒等变形﹑与其他知识交汇等.对数形结合﹑函数与方程思想﹑分类与整合思想﹑转化与化归等重要思想重点考查.

教学目标

通过本节的学习要掌握两角和与差的正弦﹑余弦﹑正切公式，掌握二倍角的正弦﹑余弦﹑正切公式，能正确运用三角公式，进行简单三角函数的化简﹑求值和恒等证明.

教学重点

应用公式进行三角函数式的化简﹑求值和恒等证明.

教学过程

1.问题引入，直奔主题

问题1:三角恒等变换这一章中出现了12 个公式，请问，这些公式都是由哪一个公式推出的?

生:C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

问题2:这个公式是如何推导出来的?

生:利用向量来推导，设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)，则= (cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)= cosαcosβ+sinαsinβ.同 时，= cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ，而α - β= 2kπ ± θ，所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，即证.

图1

师:其实，书上还有另外一种证明，但那种证明方式有些复杂;相较而言，向量的这种证明方式就非常简单明了.实际上，在教材P108 习题2.4 的B 组T2，就已经告诉我们这个公式.所以，我们在高三复习的时候一定要静下心来认真研读教材，从教材中明了数学概念，领会数学思想，掌握数学方法.

2.师生互动，理清联系

问题3:这12 个公式的逻辑联系如何?

师:由学生来口述，教师板书(如下图)，并让说明如何变换而来.

师:三角恒等变换包含角的变换和名的变换.名的变换是指函数名的变换，主要通过正余弦的转换和弦切的互换;角的变换是占第一位的，通过角的拼凑等变换方式，一般三角恒等变换主要是角的变换;同时，角又是相对的，像倍角与半角的理解，所以三角恒等变换只变其形不变其质.

3.典例解析，巩固认知

例1(1)已知α,β都是锐角，求cosβ的值.(教材P137 习题3.1A 组T4)

生1:根据cos(α+β)= cosαcosβ -sinαsinβ，得所以

生2:cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sin

生1:令sinαcosβ=t，则=cosαsinβ+sinαcosβ=cos(α-β)∈[-1,1]，所以

师:这个答案对吗? 大家有没有补充的?

生2:=cosαsinβ-sinαcosβ=cos(α+β)∈[-1,1]，所以，所以最终

师:三角恒等变换还包含结构的变换，就是代数变换，它是通过四则运算来完成的.

所以sinαcosβ=5 cosαsinβ，即证tanα=5 tanβ.

变式已知sin2α-sin2β的值.

师:次数较高，如何处理?

师:2α与α+β、α-β有什么关系?

生3:sin2α-sin2β=(cos 2α-cos 2β)=[cos[(α+β)+(α-β)]-cos[(α+β)-(α-β)]]=sin(α+β)sin(α-β)=

师:非常好.这位同学在解题时，顺便把和差化积的公式(教材P140 例2 和教材P142T3)证明了; 积化和差是和差化积的逆运算，只要把角变换一下即可;虽然我们对和差化积、积化和差公式不做要求，但新课标中指出:能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).同时，推导这些公式的过程，就是三角恒等变换.

例2已知

(1)求cos(α-β)的值;(教材P147 复习参考题B 组T2)

生1:两边平方.

(2)求cos(α+β)的值.

师:③× ④会如何? 能求出什么值?

生3:③× ④:sinαcosα+cosαsinβ+sinαcosβ+cosβcosβ=sin 2β+sin(α+β)=⇒sin(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)=⇒sin(α+β)=

师:③÷ ④又会如何?

师:很好.根据万能公式( sinα=cosα=这样可求得所有我们要的值.

师:我再提供另外一种思路.如图2，设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)，则= (cosα+cosβ,sinα+sinβ)=，设∠AOB的角平分线交单位圆于点C，与AB交于点D;则而所以

图2

4.归纳总结，加深理解

(1)三角恒等变换只变其形不变其质，它揭示某些外形不同但实质相同的三角函数式之间内在联系;(2)两角和与差的正弦、余弦和正切公式是三角变换的基本依据;(3)形的变换集中在角、式、名，角是关键，这也是三角恒等变换的重要特点;(4)角的变换最重要的特点是角的相对性，和差是相对的，倍半也是相对的.

三、教学感悟

1.以生为本，提升素养

新课标要求，高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养.高中数学课程面向全体学生，实现:人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.

因此，本节课考虑到学生在三角恒等变换中容易出现的问题:公式不清、变换不明等情况，展开教学，落实学生的“四基”“四能”，提升学生数学学科核心素养.

2.立足书本，精选内容

新课标要求，高中数学课程体现社会发展的需求、数学学科的特征和学生的认知规律，发展学生数学学科核心素养.优化课程结构，为学生发展提供共同基础和多样化选择;突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法;精选课程内容，处理好数学学科核心素养与知识技能之间的关系，强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力，同时注重数学文化的渗透.

本节课的例题基本来源于教材，是在教材总类繁多的优秀题库中精挑细选出来的，主要目的是要突出本节课的主线.

3.把握本质，精雕细琢

新课标要求，高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展.注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性.不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.

课堂教学是一个复杂而又动态的过程，在日常的课程教学中，要做到水到渠成，必须十分严格地把握住数学本质，再经过教师精雕细琢.本节课的核心公式是cos(α-β)，由它衍生出其他公式，而本质是三角恒等变换中角的变换;三角恒等变换的本质是形的变化，形的变换集中在角、式、名，它揭示某些外形不同但实质相同的三角函数式之间内在联系.