探究平面几何辅助线方法的教学设计

淮北师范大学 数学科学学院(235000)李佳佳 张 昆

平面几何的教育价值主要体现于逻辑思维与理性思维，这些思维形式的特点在于需要避开物质性材料的干扰，使学生能深入到空间点线面体的结构性本质[1]，然而多数教师直接将作辅助线的方法抛给学生，学生误以为找到辅助线很容易，这对平面几何教育价值的实现并没有什么帮助，学生如果长期在这样的教学活动中进行学习，当再次遇到新的几何题需要探究辅助线时还可能依然会束手无策，这么容易找出的辅助线为何找不到，使学生对自我存在怀疑从而丧失信心.对此，在平面几何证明题教学时，引导学生用分析的方法，充分发散自己的思维，训练自己的逻辑，有理有据，随着分析层次的递进，一步一步产生出合适的辅助线.为此，本文主要考察基于分析法构建辅助线的途径.

一、分析法概念的内涵

牛顿谈到分析法时说:“一般来说，从结果到原因，从特殊原因到普遍原因，直到论证止于最普遍的原因为止，这就是分析的方法.”[2]分析就是将被研究对象的整体分为各个部分、方面、因素和层次，并分别加以考察的认识活动.经常使用的分析方法有如下几类:1、组成分析;2、过程分析;3、因素分析.在数学思维活动中，要经常综合的使用上述分析方法.分析的过程常由三个阶段构成即为:解剖，探究本质和综合.分析的方法是执果索因的方法，即它从问题的结论出发，追溯导致结论成立的原因[3].下面给出使用分析法探索证明命题“若A 则B”时的思路图，在图中首先假定结论B 成立.

从图中可以看出，在大多数情况下，分析法可以将变幻不定的富有尝试性的探索活动纳入方向明确，途经单一的轨道，分析是在原有的综合指导下进行的，同时分析又以达到新的综合为目的.可见问题的结论对于探索活动的定向作用比综合法更为强烈，分析法相对于综合法对逻辑思维、与发散思维的培养更为合适[2](58).为了说明问题，我们看一个奠定的辅助线方法的例子.

二、教学示例

当一道稍微复杂的平面几何证明题呈现出来，我们即刻会想到借用辅助线的方法来进行证明.至于到底怎么找到正确的辅助线，许多教师是直接地将辅助线画在图形中，或者引导学生观察直接作出辅助线，看似学生好像会找辅助线了，事实却是学生只是按照教师指定的方向进行操作，并非学生自己摸索出来的方向.这样的教学方式学生的思维很难展开，数学能力也很难提升.这个时候就需要教师引导学生对文字进行分析，对图形进行分析，然后将文字与图形进行结合分析找出辅助线.对此，这里举出一个具体的例子进行说明:

在等腰三角形△ABC(如图1)的两腰AB,AB分别取E、F，使AE=CF，BC=2，求证EF≥1.

(一)设计一

1.文字分析

当学生拿到一个题目，他们的思维就会理解作用于问题，但却往往容易在解题过程中迷路，既浪费时间又磨灭信心.如果我们对题目进行有条理、有顺序的分析，了解题目的结构，捋清题目的出题意图，就会有后面解题成功的可能，从而实现事半功倍的结果，否则即使后面的思路、方法再正确，也是徒劳无功.

师:请同学们仔细研究这道题的相关内容，有谁能说说从中我们知道了哪些信息?

生1:整个题目是围绕着一个等腰三角形进行的，已知AE=CF，且边底BC=2，求证EF不小于1.

师:非常正确，即这个题目中我们知道三个部分，第一个即为在等腰三角形中这一大的限制条件，第二个即为已知数据及其关系，第三个即为求证问题.

师:这三个是题目中用肉眼可找出的信息，我们能从这些信息中通过推理发掘出什么联系吗?

生1:E、F点的位置没有确定，说明是一个动态的，但是在动的同时始终遵循AE=CF.

生2:两个数字2 和1，刚好是一倍的关系，而等腰三角形我们会想到中位线与底边是一倍的关系.

生3:刚刚生2 说到中位线让我想到了，当E、F分别在两等腰边的中点时，EF一定是1.而EF不小于1，现在只要想EF为什么会大于1 就行了.

师:三位同学都分析得很到位.

2.图形分析

对文字进行分析以后，我们将会对文字有一个初步的了解.然而仅仅对文字分析只是停留在字面上的理解，没有利用图形直观.加上图形，学生可以很好的运用想象力，便于发散思维的产生与形象思维的建立.很大程度上能提高解题效率，因此这也是解题的关键之所在.

师:刚刚对文字进行了分析，现在我们开始对图形进行分析.

生2:因为E、F两点位置不定，因此我将这两点看成一个有伸缩效果的运动过程(如图2).因为当E、F分别运动到中点时，会出现一个特殊值即中位线，对此我将这个等腰三角形的底边的垂线与中位线的交点设为O，我猜想这个EF线总是经过这个O点.

师:把EF看成一个有伸缩效果的运动线是一个非常好的想法，这个猜想也很大胆，但是生2 这个想法能证明出来吗?

生3:不能证明出来，假如当E、F分别与A、B无限接近时，很明显的看出来，EF线不经过O点.所以猜想不成立.

生4:因为中位线，且BE=AF，那么过E、F分别做BC的平行线，设FM与AB交与点M，EN与AC交与点N.那么就有FM+EN等于两倍的中位线(如图3).这个是从生2 想法中推出的一个发现，不知道对解题有没有帮助.

师:非常好，不管有没有帮助，能发现就说明我们对图形分析的更透彻了，离解答肯定也更近了一步.

生5:根据刚刚生2 设的O点，O点肯定平分EF和垂线，我想到了对角线，由对角线我想到了平行四边形.是否可以转换成平行四边形来尝试解答.

师:怎样来利用平行四边形呢?

生3:作出如图4，做E点平行BC并且与CD边连线为G，EG长与FM+EN和长相等，连接FG.发现EF与FG有某种关系，应该是相等.

生5:多做几个这样的图形，发现底边不会变.只有两腰的长在不断改变.

3.文字与图形结合分析

通过前面对文字和图形的分析，由于学生的经验不足，他们会得出各种各样的信息和猜测，这个时候还不能快速并且合理的添加辅助线，因此需要将文字与图形结合，验证检验猜测，这样将变幻不定的富有尝试性的探索活动纳入方向明确，途经单一的轨道，最后便借助于辅助线的方法将证明过程表示出来.

生4:确实可以借助于平行四边形，因为当经过O点的EF线长为1 由题目知证明EF不小于1，延长此时的EF，作出与AB平行的CD，可以画出一个平行四边形.

师:我们刚刚已经通过对图形进行分析有了一个大概的了解，我们知道题目当中等腰三角形的底边长为2，这个和什么边长是一样的?

生4:和构造出来的平行四边形中的等腰三角形的底边长是一样的.

师:非常好，但是题中只出现了1，我们能通过平行四边形中的等腰三角形的底边长等于2 找出与数字1 有关的情况吗?

生4:能，当等腰三角形△EFG 的两腰移动到边AB、DC的中点时，我们会发现这个时候等腰三角形的底被AC截成了两半，各半长即为1(如图4).

生3:当E、G移到边AB、DC的中点时，这个时候已经不是等腰三角形了，因为F点也移动到了AC的中点，此时是一条直线(如图4).

生4:是的，当E继续往A点移动时，F点会继续往C点移动，这个时候等腰三角形又出现了(如图4).

师:很好同学们已经把图形结合题目的解决轨迹描述出来了.那现在能判断出来EF不小于1 吗?

生4:可以，E点从B点移动到AB中点前，一直是一个等腰三角形，我们会发现等腰三角形的高在逐渐变小，以至于变成0，我们知道等腰三角形两腰之和一定大于第三边，假如设腰为r，用式子来表示就是2r ＞2，所以r就大于1.而当E点从B点移动到AB中点时，r就为1.而当E点继续往上移动，F点继续往下移动时，等腰三角形又出现了，这个时候同样也可以按照刚刚的想法，发现r仍然大于1.所以可以得出证明.

生5:我有一个更好的解释，我们知道等腰三角形的底是一直不变的，刚刚生4 也说了，高在逐渐变小，我们可以把这个平行四边形中的等腰三角形看成两个直角三角形(如图5)，即这是一个高在一直变但是底边不变且为1 的两个直角三角形，我们知道直角三角形的斜边一定大于直角边，而在三角形△FEH 中，EF为斜边，所以EF一定大于底边1.

师:非常好，几位同学的逐渐深入的设想最终使问题获得了解决.

(二)设计二

1.文字分析

文字分析可以理解为某种程度上的结构性分析，是将这道题的题设条件之间、题设条件与所证明的结论之间的关键性联结的线索发掘出来，从而引导我们从全局上、整体上检视所有的元素，从而获得其中内涵的意义，为合理地生成辅助线打下基础.

师:从文字中我们可以分析出什么?

生1:文字中说等腰三角形的底为2，而求得证明EF不小于1，等腰三角形的中位线等于1，也即一定不小于等腰三角形的中位线长.

生2:等腰三角形的两腰相等，我们可以从这个话中做文章.

生3:BE等于AF，又有两腰，估计可以构造出两个全等三角形.

生4:构造的两个全等三角形通过尝试可能会出现在一些特殊位置，从而发现关系.

师:同学们分析的都非常好.

2.图形分析

平面几何直线型问题的辅助线一般是由图形直观所赋予解题主体相关知识的意义决定的.因此，图形分析就是借助于图形的直观经过想象而生成意义的过程，当解题主体理解了图形中不同线条的意义后，这些线条之间的关系也就比较清楚了，一般情况下，辅助线也就可能出现了.

师:我们来看一下题目.

生1:构造两个相等的三角形，做AD平行于BC，三角形△AD′F全等于三角形ΔBB′E(如图6).

生2:那样好像没有什么关系可找，做AO′垂直于FO′，会有三角形△BEB′与三角形ΔFAO′全等.

生3 :在生1 的基础上延长AD′，作出一个正方形GBCD出来，同时将E点作出EG′垂直于AG(如图7).我感觉这样会有帮助.

生4 :将F点作出FC′垂直于BC，这样找出了两对全等三角形，三角形△AD′F和三角形ΔCFC′，三角形和三角形(如图8)，而这四个三角形面积之和等于长方形G′D′C′B′面积.

师:这就是数学的美之处啊.

3.文字与图形结合分析

一道平面几何证明的问题总是由文字(语言)与图形(语言)组织而成的，因此，在分析问题探究辅助线方法时，将这文字表述与图形表达整合起来，在相互调整与平衡中生成意义，是探究平面几何证明题辅助线的必不可少的途径，因此，文字与图形结合的分析在制作辅助线中起了十分重要的作用.

生4:多画几个，我们会发现三角形△G′EA与三角形ΔFD′A有一种关系，即为这两个三角形的底边长之和G′D′刚好等于文字中出现的数字1，连接EF(如图9).

生3:可以从梯形EFC′B′中看出，EF不小于1.因为当EF移动到与BC平行时，是一个矩形，此时EF边长等于底边长1.而当EF再移动一点点就一定比1 大.

师:能不能再具体一点.

生4:经过E点做与BC平行的EH，H在FC′上(如图10)，这时候出现一个直角三角形△FEH.在直角三角形中，斜边总是大于任一直角边，所以EF总是大于1.这样就给证明出了想要的结果.

师:非常好，那么这样我们找出了最合适的辅助线，从而可以继续解题.

三、简要小结

问题解决，其实就是找到问题题设条件与所求结论之间的联结，而题设条件与所求结论之间存在着某种千丝万缕的联系.如何解题，就是要找到其中蕴含的某种关系[4].以前学生听老师讲解时清楚明白:一步一步顺利的推出，使得学生误认为几何证明有如先天预成的，对他们来说平面几何是“非学习和训练”所能达到的那种水平[5].从这两个不同的解题方法中，我们发现，数学平面几何解题的关键之处，在于对文字进行深入分析，同时在图形上进行尝试，最后将自己发散出来的想法与文字结合，一步一步向结果靠拢.如此，通过数学教学，才有可能最大限度的促进数学教育教学的高层次目标的实现，提高作为教育资源的数学知识的育人价值的基本保证.

对于学生来说，利用分析法对平面几何解题具有极好的意义，他从文字出发，通过分析题目中给出的条件，接着在图形上用符号表示出来，最后，通过前面的探究尝试活动，将题目的分析与图形中使用的符号结合起来，水到渠成的得出想要的辅助线，从而证明出结论.这样学生在自己的探究过程中一步一步的分析出适合解题的辅助线，既不突兀，也让学生体验到了探索的乐趣.也就是说，平面几何的解题教学已经不仅仅只是在知识的层面上影响学生，它将对学生分析问题、解决问题和在征服困难时的情感态度有积极的助力作用.