初中几何解题学习的层级递进探析——兼谈初中动态几何问题的课堂教学

广东省广州市华侨外国语学校(510095)操明刚 陈锦喜

现代认知心理学认为，学习是学习者以信息的输入、编码为基础，根据已有经验及认知结构，主动建构内部的心理表征，进而获得心理意义的过程.数学学习是对学生知识、技能、概念、法则在心理上组织起恰当的有效认识结构，使之成为个人内部的知识网络的一部分.数学学习水平的层级划分对数学教学有着不容忽视的意义.

一、什么是数学学习水平的层级划分

数学学习水平由联系的数目和强度所决定，数学知识的学习要有一定的心理基础，选择和调动起相对称的知识图式，其学习水平是一个信息或要素组织的过程，同时，数学教学还需要认知结构的再组织.英国的S·Pirie 和加拿大的T·Kieren 提出了一个数学学习发展的“超回归”数学学习水平模型，两位学者认为，数学学习划分为八个水平，即原始认知、产生表象、性质认知、形式化、观察评述、构造化和发现创造.而文[2]则认为对数学知识的学习大体上经历经验型认识阶段、形式化认识阶段、关系型认识阶段和观念型认识阶段的四个层级水平，来描述数学学习逐步深入的过程.

二、数学学习水平层级划分理论的应用

动态几何问题是各地中考试卷中出现较多的题型，动态几何是关于几何图形存在动点、动图形等方面的问题，它集点的运动、线段的运动、图形的变化于一身，集几何、代数于一体，体现了数形结合的数学思想，通过探究特殊位置时的位置关系转化为数量关系的数学方法，从而建立方程或函数模型求解.动态几何题往往借用陈题改编，对此学生似曾相识，却又都蕴藏着不同程度的变化.既保证了学生在中考时心理不至于产生大的波动，同时，试题的变化又使学生无法进行简单的模仿或复制，较好地考查学生的基本数学能力和素养，使试题承载了良好的考试信度和考试效度.人民教育出版社章建跃博士指出:“构建恰时恰点的问题(系列)是有效教学的基本线索，问题引导学习应当成为教学的一条基本原则，有了恰时恰点适度的问题，学生有效地独立思考、自由探究、合作交流才能有平台.”“经过教学，学生将会有哪些变化，会做哪些以前不会做的事，……教学目标的制定反映了教师对教学、教材以及学生理解的整体水平，是教学水平的集中体现.那种‘一步到位’的教学目标，显然不符合要求，也是教学水平不高的表现.”

图1

笔者以动态几何问题的课堂教学为例，就数学教学水平的层级划分理论加以说明，具体如下:从一道基本的几何问题(人教版第二十七章第71 页第13 题)谈起，如图1所示，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm?

解析正方形PQMN的QM边在BC上，所以PN//BC，所以△APN ∼△ABC，由相似三角形对应高的比等于相似比，易求得答案.由于此题所给数据具体，方法常规，求解过程学生一般不会产生障碍，将数量关系联系函数为线索寻求表征形式化.

变式1如果四边形PQMN为△ABC的内接矩形，AD是BC边上的高，边BC= 120mm，AD= 80mm，设PN=xmm，矩形PQMN的面积为ymm 则

(1)求y与x的函数关系式;

(2)当x为何值时y有最大值，且y最大值是多少?

说明数学学习水平层级划分的第一阶段为经验型认识阶段.这个阶段的认识就是通常所说的直观水平，学生将教学对象看作一个直观的整体，常使用典型例子代表一类数学对象，这个阶段的认识，更多地包含一些模仿的、平面的、非本质甚至到谬误成分.此时做变式就是挖掘教材题目的价值，适时适度地拓展其内涵，引导学生的视觉表象，探究动态几何的位置关系转化为数理关系，变式1 也仅停留在这个阶段.

变式2如图2，在平面直角坐标系中，两个函数y=x,y=的图象交于点A.动点P从点O开始沿OA方向以每秒1 个单位的速度运动，作PQ//x轴，交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S.

图2

(1)求点A的坐标;

(2)试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t(秒)的关系式;

(3)在(2)的条件下，S是否有最大值? 若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值;若没有，请说明理由;

(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是什么?

解析(1)由所给函数解析式联立方程组可得所以A(4,4).

(2)点P在y=x上，OP=t，则点P坐标为点Q的纵坐标为并且点Q在y=上.所以即点Q坐标为当时，当时，当点P到达A点时，当时，

(4)显然，当P点经过点A后继续按照原来的方向、原来的速度运动时，重叠的部分面积最大为△OAB的面积，于是，问题就变为当t为何值时正方形正好将△OAB覆盖，这时，故t满足的条件是

说明数学学习水平层次划分的第二阶段为形式化认识阶段.形式化认识意味着学生对自身知识经验的一种整理、组织和概括、这一过程在第一阶段经验性知识不断积累的基础上，通过对各种具体模型的识别、分化，达到对相关数学知识的形式化理解和形式化认识的产生.变式2 的新颖之处是将基本图形置于一次函数的背景之中，使函数问题与几何问题有机结合，随着p 点的运动，正方形PQMN 与△OAB 重叠部分的图形发生了改变，其中的分类讨论等数学思想方法形成形式化认识，第4 问的设置是本题的亮点.

变式3如图3，在锐角△ABC中，BC=9,AH ⊥BC于 点H，且AH= 6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE//BC，交AC于点E.设△ADE的高AF为x(0＜x ＜6)，以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y(点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上).

图3

图4

(1)分别求出当0＜x≤3 与3＜x ＜6 时，y与x的函数关系式;

(2)当x取何值时，y的值最大? 最大值是多少?

解析(1)①当0＜ x≤ 3时，由折叠得到的△A′ED落在△ABC内部如图5，重叠部分为△A′ED，因 为DE//BC，所以∠ADE= ∠B,∠AED= ∠C，所以△ADE ∼△ABC，所以即又因为FA′=FA=x，所以·A′F=所以

图5

②当3＜x ＜6 时，由折叠得到的△A′ED有一部分落在△ABC外，如图6，重叠部分为梯形EDPQ，因为FH=6-AF=6-x，A′H=A′F -FH=x-(6-x)= 2x-6，又因为DE//PQ，所以△A′PQ ∼△A′DE，所以PQ=3(x-3).所以

图6

(2)当0＜ x≤ 3 时，y的最大值:当3＜x ＜6 时，由+18x-27 =可知:当x=4 时，y的最大值:y2=9，因为y1＜y2，所以当x=4 时，y有最大值，y最大值为9.

说明数学学习水平层次划分的第三阶段为关系型认识阶段.关系型认识是在相关的知识网络中把握知识的内涵和本质.虽然形式化认识已涉及概括化和本质化水平，但仍局限于对单一的数学对象，更没有意识地区别它与其它知识的异同点和层次，也不明确各种数学对象的适用范围即表现出比较低的解题迁移水平.变式3 是将基本几何题与轴对称变换联系起来，通过动点D 的运动，重叠部分的图形就在三角形与梯形之间变化关系上突显出来，变式3 需要学生提取已有的知识网内的相关知识并融为一体去分析求解，其学习水平层次划分属关系型认识.

变式4如图7，△ABC的高AD为3，BC为4，直线EF//BC，交线段AB于E，交线段AC于F，交AD于G，以EF为斜边作等腰直角三角形PEF(点P与点A在直线EF的异侧)，设EF为x，△PEF与四边形BCEF重合部分的面积为y.

图7

(1)求线段AG(用x表示);

(2)求y与x的函数关系式，并求x的取值范围.

解析(1)由EF//BC，所以△AEF ∼ △ABC，AD ⊥ BC于D交EF于G，所以所以

(2)由图和已知条件知，△AEF ∼ △ABC从而得AG表达式，分两种情况;当点P在四边形BCFE的内部或BC边上时 如图8，易得的关系

图8

图9

说明此题多次用到三角形相似的性质，适当作辅助线找三角形相似，把几何关系用函数表示出来，是很好的题型.数学学习水平层次划分的第四阶段为观念型认识阶段.观念型认识是对数学整体把握，具有发展性英语整体性的特点，观念型认识的针对最弱，但涵盖范围最广，知识升华到观念型认识，可认为达到学习水平的顶层，但不能说仅限于此，在认知驱动下将会从深度和广度两方面不断扩展.变式4 可以说是对变式3 的改进，思维的价值更高，△PEF 不像变式3 直接翻折下来那么直观，需要学生多作出几个符合条件的草图，结合图形研究分类的范围，变式3 的思维含量无疑大了许多.

三、几点思考

3.1 对数学学习水平层级是一种大致划分，作为一种文字描述性的划分缺乏精确性和严格性.数学学习水平受纵向与横向发展的复杂性、多元性的综合作用影响，就纵向而言，主要体现在各层级水平间的交叉性和渗透性; 就横向而言，主要体现于个体学习者的经验背景和认识风格，不存在唯一的标准.

3.2 当前的数学学习中，初中生数学学习水平发展主要障碍有三个方面.其一，学习者因各种原因，没有积极投身课堂的数学活动中去，其水平仅限于此，甚至不能达到层次划分的第一阶段.其二，学习者尚未应有的心理准备和知识储备，这就为进一步的学习设置了障碍.其三，学习者即使认知结构没有缺损，但对于教学中的内容没有建立联系，也构成学习者的障碍.

3.3 针对学生数学学习水平层级的阶段认识，教师应创设恰当的教学情境，激发学生的内在的学习愿望，经常有意识地设计以某个知识技能训练为主线的有联系的变式题组，通过“形异质同”或“形近质同”的设问方式改变，丰富问题设计的立意及内涵，使学生在数学学习中充满自信，达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界.