基于APOS理论视角下的数学定理教学

摘 要：二项式定理是高中数学定理的重要组成部分，是初中多项式乘法的延伸，对于培养学生的数学抽象等核心素养有着不可忽视的价值。本文将运用APOS理论对其教学过程进行分析和设计。

关键词：APOS理论;数学定理;二项式定理

数学知识具有很强的抽象性，在教学当中应注重体现知识的来龙去脉，经历数学知识由具体到抽象的过程。但很多教师对于定理教学的把握不到位，导致学生对于定理的形成过程一知半解，死记硬背，不利于数学知识的理解和数学能力的培养。二项式定理是人教版高中数学选修3-2第一章第三节第一课时的内容，是代数多项式乘法的推广。它是安排在计数原理之后的内容，既是对计数原理的应用，同时也为后面学习随机变量及其分布、二项分布等内容做铺垫。接下来笔者将结合APOS理论对二项式定理的教学过程进行分析和设计。

一、 APOS理论概述

APOS理论是20世纪80年代由美国数学教育家杜宾斯基在皮亚杰反思性抽象理论的基础上提出的有关数学学习的理论。该理论认为学生学习数学知识需要经历四个阶段的心理建构，即活动阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）和图式阶段（Scheme）。APOS理论是以建构主义为基础的数学学习理论，核心是引导学生通过心理建构，掌握数学知识。“活动”是指个体对感知到的数学对象进行各种变换。这里的“活动”泛指所有的数学活动，不仅仅指个体的肢体动作，还包括回忆、推理等。当个体重复“活动”或“动作”并对其进行反思时，“活动”就会被内化进入心理“过程”，“过程”的一个重要特征是个体能够完全在他的思想中描述或反思转换的步骤而不实际进行操作。当个体把“过程”作为一个整体并且对整体实施新的动作时，该“过程”被压缩到一个心理“对象”中，这时个体不再关注动态的“过程”，而是静态的“对象”本身。“图式”被定义为个体的“活动”“过程”“对象”和其他图式的整合。“图式”的建立是一个长期的过程，这些图式在个体头脑的连贯框架中有意识或无意识的联系在一起，用来解决和他们相关的问题。本文将从APOS理论的视角对“二项式定理”的教学做一个分析和探讨。

二、 APOS理论视角下的二项式定理教学

依据APOS理论，笔者认为学生对于二项式定理的认识也需要经历以下四个阶段。

第一阶段：活动阶段（Action）

活动是学生掌握二项式定理的一个必要条件，我们不能马虎。数学教学活动应建立在学生已有的认知发展水平和知识经验的基础上。在教学过程中不仅需要外在的动作，如操作、实验等，也需要内在的思维活动，如回忆、思考等。

设计意图：利用二项展开式的通项求解相关问题，深化学生对于二项式定理的理解。

第四阶段：图示阶段（Scheme）

在这一阶段将学习的二项式定理进行总结，建立与其他概念、定理、定义之间的联系，形成综合的心理图示。

（四） 课堂总结

本节课主要学习了哪些内容？运用了哪些数学思想方法？

设计意图：引导学生对本节课学习的知识进行总结，使学生对于二项式定理有一个清晰全面的理解，建立起二项式定理与其他相关概念的联系。

APOS理论揭示了学生学习数学知识的全过程，四个阶段的教学使学生深化了对二项式定理的理解，实现了真正意义上的建构，取得了较好的教学效果。但运用APOS理论指导教学时需注意，有时对于數学知识的理解并不严格遵循四个阶段的这种线性途径，如程序和对象阶段也会有活动的影子，所以四个阶段之间还会存在一种循环。

参考文献：

[1]管尤跃.基于APOS理论下的小学数学概念教学模式——以《三角形的认识》为例[J].小学教学研究，2017（7）：8-11.

[2]赵红霞，李丹.基于APOS理论的小学数学概念教学研究——以《轴对称图形》教学为例[J].兵团教育学院学报，2018，28（2）：61-65.

作者简介：顾庆梅，山东省青岛市，青岛大学。