妙用函数的对称性

满秀懿

图形的对称关系不仅美化了我们的生活，也体现了数学之美.函数的对称关系广泛存在于各种数学问题之中，函数的对称性是函数的一个基本性质，利用函数对称性可以简化数学运算，函数的对称关系主要有中心对称和轴对称，函数的奇偶性就是函数的对称性的特例.本文从函数的中心对称和轴对称等方面来探讨函数的对称性及相关的应用问题.

一、求函数值

例1 已知函数f（x）=（x-1）3+1，

则f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）=    .

解析：f（x）=（x-1）3+1是由y=x3平移得到的，

由于y=x3是奇函数，图象关于原点对称，

因此f（x）的对称中心为（1，1），f（x）+f（2-x）=2，

所以f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）=[f（-5）+f（7）]+[f（-4）+f（6）]+…+[f（0）+f（2）]+f（1）

=6×2+1=13，

故答案为13.

点评：一般的，此类问题需要判断出该函数是由什么样的奇函数或偶函数通过平移变换所得，借助于它们的对称性解决问题.

二、求函数解析式

例2 已知y=f（x+1）是定义在R上的奇函数.当x>1时，f（x）=x2-4x，则函数f（x）=    .

解法：令g（x）=f（x+1），

因为g（x）=f（x+1）是定义在R上的奇函数，则

所以g（0）=f（1）=0，且g（x）+g（-x）=0，

即f（1+x）+f（1-x）=0，

所以f[1+（x-1）]+f[1-（x-1）]=0，

即f（x）=-f（2-x），

设x<1时，则2-x>1，

f（2-x）=（2-x）2-4（2-x）=x2-4.

因为f（x）=-f（2-x），所以f（x）=4-x2.

故f（x）=x2-4x（x>1）

0（x=0）

4-x2（x<1）.

点评：解析中的方法借助于区间转移法求解解析式，要注意在理解其结构特征的基础上，灵活地进行“代换”达到目的，如f（a+x）+f（a-x）=0的结构特征可理解为f（a+ ）+f（a- ）=0， 内放置任何代数式都成立;而探究中运用数形结合的思想求解问题，简洁形象，有助于透彻理解函数的对称性.

三、中心对称与函数的奇偶性

例3 已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的等价条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”.

（1）将函数g（x）=x3-3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标;

（2）求函数h（x）=log22x4-x图象对称中心的坐标.

解析：（1）平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2，整理得y=x3-3x，

由于函数y=x3-3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，-2）.

（2）设h（x）=log22x4-x的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）-b是奇函数.

设f（x）=h（x+a）-b，

则f（x）=log22（x+a）4-（x+a）-b，

即f（x）=log22x+2a4-a-x-b.

由不等式2x+2a4-a-x>0的解集关于原点对称，得a=2.

此时f（x）=log22（x+2）2-x-b，x∈（-2，2）.

任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函数h（x）=log22x4-x图象对称中心的坐标是（2，1）.

点评：（1）根据函数图象的平移变换法则，并判断函数为奇函数，结合题目中已知的真命题，可得答案.（2）设函数h（x）=log22x4-x图象对称中心为P（a，b），由題设知函数f（x）=h（x+a）-b是奇函数.进而求出a，b的值，得到对称中心坐标.本题考查的知识点是函数图象与图象变化，奇偶函数图象的对称性，熟练掌握函数图象平移变换法则及奇函数的定义和性质是解答的关键.

四、中心对称与函数的单调性

例4 已知定义域为R的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+4），且函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，如果x1<2

A.可正可负  B.恒大于0

C.可能为0  D.恒小于0

解析一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而x1+x2<4可得x2<4-x1，因为x1<2，所以4-x1>2，进而将x2，4-x1装入了（2，+∞）中，所以由x2<4-x1可得f（x2）

解析二：本题运用数形结合更便于求解.先从f（-x）=-f（x+4）分析出f（x）关于（2，0）中心对称，令x=-2代入到f（-x）=-f（x+4）可得f（2）=0.中心对称的函数对称区间单调性相同，从而可作出草图.而x1+x2<4x1+x22<2，即x1，x2的中点位于x=2的左侧，所以x1比x2距离x=2更远，结合图象便可分析出f（x1）+f（x2）恒小于0.

答案：D.

点评：本题是单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系，与所求函数值关系，而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性，所以需要将自变量装入同一单调区间内.而对称性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系.

五、利用函数的对称性与周期性解决函数的零点问题 例5 已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上只有1和6两个零点，且y=f（x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，则函数y=f（x）在[0，2013]上的零点个数为    .

解析：∵f（x+2），f（x+7）为偶函数，

∴f（x+2）=f（-x+2），f（x+7）=f（-x+7），∴f（x）关于x=2，x=7轴对称，

∴f（x）函数的周期为10.

∴将[0，2013]划分为[0，10）∪[10，20）∪…∪[2000，2010）∪[2010，2013]，

∵f（x）关于x=2，x=7轴对称，

∴f（x）=f（4-x），f（x）=f（14-x），

∵f（1）=f（6）=0，f（8）=f（14-8）=f（6）=0，f（3）=f（4-3）=f（1）=0，

∴在[0，10）中只含有四个零点，

而[0，10）∪[10，20）∪…∪[2000，2010）共201组，

所以N=201×4=804，

在[2010，2013]中，含有零点f（2011）=f（1）=0，f（2013）=f（3）=0共两个，

所以一共有806个零点.

点评：（1）处理周期函数的零点个数时，可以考虑先统计一个周期内的零点个数，再看所求区间包含几个周期，相乘即可.如果有不满一个周期的区间可单独统计.当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时，零点的统计不能仅限于已知条件，而要看是否由于对称产生新的零点.其方法一是可以通过特殊值的代入，二是可以通过图象，将零点和对称轴标在数轴上，看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解）.

六、两个函数对称性的应用

例6 已知y=f（2x-1）为奇函数，y=f（x）与y=g（x）图象关于y=x对称，若x1+x2=0，则g（x1）+g（x2）=    .

解析：∵y=f（2x-1）为奇函数，故y=f（2x-1）的图象关于原点（0，0）对称，而函数y=f（x）的图象可由y=f（2x-1）图象向左平移12个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到，故y=f（x）的图象关于点（-1，0）对称，又y=f（x）与y=g（x）图象关于y=x对称，故函数y=g（x）的图象关于点（0，-1）对称，∵x1+x2=0，即x1=-x2，故点（x1，g（x1）），（x2，g（x2）），关于点（0，-1）对称，故g（x1）+g（x2）=-2.

点评：本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题.函数图象的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图象经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是利用函数的平移變换、放缩变换后根据对称性解答的.

【素养提升】

函数的对称性是函数的奇偶性的引伸，函数的奇偶性是函数的对称性的特例.函数的对称中心的探求，从某种意义上而言，就是该函数是通过怎样的代换或者平移变换得到奇函数的问题.

初中学习的一次函数、反比例函数是中心对称图形，自然可以借助于常见的基本初等函数来探求齐次分式函数的图象的对称中心.遇到抽象函数的对称中心的探求，从图象平移变换的角度不易理解，这就需要借助于相关点法灵活地“转移”，以求解决问题.

探求函数对称中心的存在性问题，可以应用待定系数法，借助于函数的中心对称性的结论f（x）+f（2a-x）=2b求解对称中心，最好采用其等价式f（a+x）+f（a-x）=2b降低运算量.当a=b=0时，y=f（x）就是奇函数.

透彻理解题意是审题能力的体现，也是分析问题，解决问题的关键.许多函数或明或隐地蕴含着中心对称性，我们要善于挖掘其中的函数的中心对称性，并应用其性质发现问题、解决问题.