关于轨迹方程问题的解法探究

耿燕

[摘  要] 求解动点的轨迹方程是高中数学较为重要的问题类型，该类问题具有较强的灵活性和综合性，可以全面考查学生的基础知识和分析能力，考虑到轨迹问题的解题方法较为众多，因此十分有必要对其加以探究总结，文章以一道考题引入开展方法拓展探究.

[关键词] 轨迹方程;解法;相关点法;定义法;直接法;参数法

问题探究

问题：如图1所示，抛物线C1的解析式为x2=4y，C2的解析式为x2=-2py（p>0），点M（x0，y0）是抛物线C2上的一个动点，过点M作抛物线C1的切线，设为点A和B（点M与原点O相重合时，切点就为点O），已知当点M的横坐标为1- 时，切线MA的斜率为- ，试回答下列问题：

（1）试求参数p的值;

（2）当点M在抛物线C2上运动时，设线段AB的中点为点N，试求点N的轨迹方程.

解析：（1）问求p的值，需要利用题干信息“M的横坐标为1- 时，切线MA的斜率为- ”. 根据抛物线C1的解析式可求得其上任意一点的切线斜率为y′= ，则MA的斜率为- 时，点A的坐标为-1， ，从而可得切线MA的方程为y=- （x+1）+ ，已知点M同时位于抛物线C2和切线MA上，分别代入可构建方程组，从而可解得p=2.

（2）问求线段AB的中点N的轨迹方程，可设点N的坐标为（x，y），进而可得切点A，B的坐标，即Ax1， ，Bx2， .点N为线段AB的中点，利用中点坐标公式可求得点N的坐标为 ， ，利用两点式可分别求得切线MA和MB的方程：yMA= （x-x1）+ ，yMB= （x-x2）+ ，联立两者的方程可解得交点M的坐标，即M ， ，由已知点M为抛物线C2上的动点，必然满足其解析式，代入可解得x1x2=- ，而由点N的坐标有x= ，y= ，结合上式可求得x2= y，即线段AB的中点N的轨迹方程为x2= y（当点A，B与原点O相重合时，点N也位于原点O处）.

问题评价

上述试题考查了抛物线的解析式求解以及曲线上特殊点的轨迹方程，第（1）问求解属于常规的条件信息转化，只需要利用抛物线上点M的特殊位置关系即可求解;而（2）问的轨迹方程问题则是高考较为常见的典型问题，即已知曲线的解析式，以及特殊动点的位置关系，求解相关点的轨迹方程，如上述设定点A和B是切线MA和MB的在抛物线C1上的切点，点N为线段AB的中点.

另外上述求解点N的轨迹方程时，设定了关键点的坐标，利用几何关系推导出了与点N坐标相关的关系式，然后采用代入的方式获得了对应的轨迹方程，实际上是数学相关点法在轨迹方程问题的中解析应用，即对于已知动点P运动引出的关联点P′. 若已知点P的运动规律，则可以设出点P的坐标，求出点P的运动轨迹，然后建立点P′与点P的坐标关系式或将点P′的坐标代入其运动方程中，从而实现轨迹方程的转化求解.

又如例2：已知点P是双曲线C： - =1上的一个动点，设双曲线C的两个焦点分别为点F1和F2，现连接F1P，F2P，构建出△F1PF2，设三角形的重心为点G，试求点G的轨迹方程.

解析：具体思路为提炼题干条件，设定动点P与关联点G的坐标，则双曲线的解析式就为点P的轨迹方程，因此只需要建立点P与点G的坐标关系即可，具体步骤如下.

第一步——条件提炼

根据题干所给双曲线的解析式可得a=4，b=3，c=5，F1（-5，0），F2（5，0）.

第二步——坐标设点

已知点P为双曲线C上的动点，求关联点G的轨迹方程，因此可将点G的坐标设为（x，y），点P的坐标设为（x0，y0）.

第三步——动点P的方程

点P位于双曲线C上，则点P的坐标必然满足其解析式，可得 - =1.

第三步——点坐标关系建立

点G为△F1PF2的重心，则其坐标值为三顶点坐标的平均值，即x= ，y= （y0≠0）.

第四步——关系代入转化

将点坐标关系代入动点P满足的方程内，整理后可得 -y2=1（y≠0），即重心G的轨迹方程为 -y2=1（y≠0）.

方法拓展

轨迹方程作为高中数学较为典型的问题，解题时除了可以使用相关点法外，还存在其他的解析方法，例如定义法、直接法、参数法、几何法等. 针对不同的问题，选用合理的方法往往可以取得不同的解题效果，有效提升解题效率，下面结合实例对其解法进行拓展探究.

1. 定义法

定義法，顾名思义就是利用动点轨迹所满足对应曲线定义来解题的方法，首先根据曲线的定义设出动点的轨迹方程，然后根据题干条件，求出轨迹方程系数，从而实现问题求解.

例3：若△ABC的三个内角满足关系式sinC-sinB= sinA，已知BC=a，试求顶点A的轨迹方程.

解析：求顶点A的轨迹方程，首先需要建立平面直角坐标系，以BC的中点为坐标原点O，其所在直线为x轴建立直角坐标系，则点B和C的坐标分别为- ，0， ，0. 设点A（x，y），由sinC-sinB= sinA结合正弦定理可得c-b= ，即AB-AC= ，表示AB与AC的线段之差为定值，根据双曲线的定义可知：点A的轨迹是以点B和点C为曲线焦点，焦距为a，实轴长为 的双曲线的右支，且不包含点C，根据双曲线标准方程的系数关系可得2b= a，所以点A的轨迹方程为 - =1（x> ）.

方法归纳：利用定义来求解动点的轨迹方程，首先就需要熟识一些基本曲线的定义，例如轨迹为圆，则动点到定点的距离始终为定长;轨迹为椭圆，则动点到两个定点的距离之和为一常数，且大于两定点之间的距离;轨迹为双曲线，则动点到两定点的距离之差的绝对值为一常数，且小于两定点之间的距离.

2. 直接法

直接法，即直接利用几何中的代数关系来求解的方法，该方法适用于一些条件简单鲜明的轨迹问题，求解时不需要使用其他技巧，只需要将点的轨迹表示为含有x和y的等式，然后设定取值范围即可.

例4：已知两定点的坐标分别为A（-a，0），B（a，0）（a>0），点S为坐标系内的一个动点，连接SA和SB，若SA和SB所在直线的斜率之积为 ，试求点S的轨迹方程.

解析：题干已经给出了与点S相关的关系，只需要将其表示即可，设点S（x，y），则SA所在直线的斜率为kSA= （x≠-a），SB所在直线的斜率为kSB= （x≠a），两直线的斜率之积为 ，即 · = （x≠±a），整理可得 -y2=1（x≠±a），即点S的轨迹方程 -y2=1（x≠±a），表示双曲线上去掉两个顶点（-a，0）和（a，0）的部分.

方法归纳：显然直接法就是直接利用题干的关系式或关系信息进行方程构建的解题方法. 另外直接法适用于以下几种情形：①无坐标系，有关系式;②动点数量关系不明显，但可利用几何定理构建关系式;③题设给出对应关系，需要代入动点坐标.

3. 参数法

参数法，即探寻动点P的几何运动量t，以此作为参变量，以此为基础建立关于参变量t的点P的坐标函数关系，即x=f（t），y=f（t），然后通過消参的方式获得动点的通用轨迹方程.因此利用此方法解题的关键是合理设定参数，讨论参数取值.

例5：如图2所示，过定点P（2，4）作相互垂直的直线l1和l2，设直线l1与坐标的x轴相交于点A，直线l2与坐标的y轴相交于点B，连接点A和B，若线段AB的中点为点M，试求点M的轨迹方程.

解析：求线段AB中点M的轨迹方程，关键是表示出点M的坐标，则需要求出点A和B的坐标，而上述两点均为直线l与坐标轴的交点，因此需要求解直线l1和l2的解析式，两直线相互垂直，则斜率之积为-1，则可以设定一条直线的斜率为参数，设l1的斜率为k，则l2的斜率为 - ，所以两直线的方程可分别表示为：y-4=k（x-2），y-4=- （x-2）（k≠0），从而可求得交点A2- ，0，B0，4+ ，则中点M的参数方程为x=1- ，y=2+ ，（k为参数），消去参数k，可得x+2y-5=0.

当k=0时，线段AB的中点为M（1，2），满足上述轨迹方程;

当k不存在时，线段AB的中点为M（1，2），同样满足上述轨迹方程;

综上可知，中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.

解析归纳：上述解题时参数k表示的是直线的斜率，也可以表示几何中点的横、纵坐标等. 需要特别注意的是：在解题时需要对参数的取值范围、动点的坐标取值加以讨论，确保动点的轨迹合理有据.

综上可知，动点的轨迹解法是多种多样的，涉及基本的曲线定义、直接利用代数关系法，以及较为复杂的点坐标代入、设定参数等方法，解题方法不存在优劣之分，针对不同类型的问题各有其优势，因此在解题时需要考生认真读题，审查问题特征，合理选用方法. 另外，在教学中教师可以基于动点轨迹问题开展一题多解，引导学生探讨不同方法的解题思路，拓展学生的解题思维.