基于TI手持技术下的定点问题探究

杨刚　曹永生

【摘要】本文以一个猜想为例，运用TI-Nspire CX CAS图形计算器的CAS系统，与学生一起探究并验证猜想：过椭圆上任意一点，分别连该点和椭圆的左右顶点交椭圆的准线于M，N两点，以MN为直径的圆过定点.进而，将这一结论推广到一般的情形，然后论证在双曲线中也有类似的结论.

【关键词】椭圆;双曲线;定点;CAS系统;高中数学

下面笔者将以一个猜想为例，引导学生们一起探究，培养学生分析问题，解决问题的能力，进而将特殊情形推广到一般的情形，帮助学生养成善于归纳的良好习惯.

问题 点A，B为椭圆的左右顶点，点P是椭圆x24+y2=1上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交椭圆的右准线x=43于M，N两点，以MN为直径的圆是否过定点.

代数证明 设点P（m，n）（m≠±2）为椭圆上任意一点，点M43，a1，N43，b1分别为直线AP，BP与准线x=43的交点，由题意AP的方程为y=nm+2（x+2），联立y=nm+2（x+2）与x=43得a1=nm+243+2，同理有b1=nm-243-2，因此，以MN为直径的圆的方程为x-432+y-a1+b122=a1-b122，化简可得x-432+y2-（a1+b1）y+a1b1=0，利用CAS系统强大的计算功能可以算出a1b1=-13（见图1），若要圆经过定点只需要y=0即可，此时x=3或x=533，说明我们的猜想漏解了，再回过头去看图像，不难发现圆在变化过程中确实经过两个定点（3，0）和533，0，且这两个点恰好关于准线对称.

图1

代數论证：设点P（m，n）（m≠±a）为椭圆上任意一点，点Ma2c，a2，Na2c，b2分别为直线AP，BP与准线x=a2c的交点.由题意知AP的方程为y=nm+a（x+a），联立y=nm+a（x+a）与x=a2c有a2=nm+a（a2c+a），同理有b2=nm-aa2c-a，因此，以MN为直径的圆的方程为x-a2c2+y-a2+b222=a2-b222，化简可得x-a2c2+y2-（a2+b2）y+a2b2=0，利用CAS系统强大的计算功能可以算出a2b2=-b4c2（见图2）.

图2

若要圆经过定点只需要y=0即可，此时x=c或x=a2+b2c，以MN为直径的圆确实经过两个定点（c，0）和a2+b2c，0，且这两个点恰好关于准线对称.

上面的论述表明椭圆有此结论，双曲线是否也有类似结论呢？请读者思考……

结束语

借助图形计算器强大的运算功能帮助学生克服计算量大，计算复杂的问题，让学生有勇气挑战自我，节省很多不必要的计算，保证思维的流畅性，激发学生学习数学的热情，在实际操作中领悟数学的真谛.

【参考文献】

[1]徐勇.高中数学实验指南（必修部分）[M].广州：广东高等教育出版社，2011.

[2]黄元华，黄安成.激活中学数学课堂[M].西安：陕西师范大学出版总社，2015.