圆的切线的两种证明方法

姜百军

【摘要】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线.

【关键词】切线;切线判定;证明;分析;点评

在初中九年级数学上册“圆”这一章中，学生们学习了圆的切线，但如何证明一条直线是不是圆的切线，困扰着许多学生，下面笔者就结合自己的教学实践，谈谈圆的切线的两种证明方法.

一、用“圆的切线判定定理”证明

在人教版九年级数学上册第二十四章“圆”中，在“直线与圆的位置关系”这一节，给出了圆的切线判定定理：“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”.我们可以用这条定理来证明一条直线是圆的切线.

例1 如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线.

分析 此类证明切线的问题，在已知条件中告诉了直线与圆的交点D，如果证明了DC是⊙O的切线，那么D点就是切点.因此，只需连接OD，因为OD是⊙O的半径，所以只需证明OD⊥DC，就可得出DC是⊙O的切线.

证明 连接OD.

∵AD∥OC，

∴∠A=∠COB，∠ADO=∠DOC.

又∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∴∠DOC=∠COB.

又∵OD=OB，OC=OC，

∴△ODC≌△OBC（SAS），

∴∠ODC=∠OBC.

又∵BC是⊙O的切线，

∴∠OBC=90°，

∴∠ODC=90°，

∴DC是⊙O的切线.

二、用“圆的切线定义”证明

直线与圆的位置关系中，我们很容易得到“如果直线到圆心的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线”，这个我们可以作为圆的切线的定义，用来证明一条直线是不是圆的切线.

例2 如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于点D，以D为圆心，DB的长为半径画圆.

求证：AC是⊙D的切线.

分析 要证AC是⊙D的切线，题目中没有告诉AC与⊙D的交点，因此，不能用圆的切线判定定理来证.我们可以用圆的切线定义来证明，作点D到AC的垂线段DF，垂足为F，然后证明DF与圆的半径BD相等，即可说明AC是⊙D的切线.

证明 过点D作DF⊥AC，垂足为F.

∵AD平分∠BAD，

∴∠BAD=∠DAC.

又∵∠ABC=∠AFD=90°，AD=AD，

∴△ABD≌△AFD（AAS），

∴DF=BD，

∴AC是⊙D的切线.

点评 比较圆的切线的兩种证法，当题目已知条件中告诉了“切线”与圆的交点（例1中告诉了交点D），用圆的切线判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），连接交点和圆心，证明连接的半径垂直于这条直线，就可说明这条直线是圆的切线，口诀是“连半径，证垂直”;当直线与圆的公共点不明确时（例2中不知AC与圆的交点），用切线定义（如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线）去证，过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，这条直线就是圆的切线，口诀是“作垂直，证相等”.