二个常规问题背后的新故事

晏鸿

人们对司空见惯的东西，常常感觉到天经地义，对新的问题却无从理解，就像西方人习惯从左至右横写阿拉伯数字，而我们新疆的维吾尔族人却习惯于从右到左橫写;珠算的加法是从左到右，但小学的笔算加法却是从右到左，看来有时从右到左研究问题也有它的合理性，在我们的教学过程中就有这样的事例.

一、常规问题1

远在1799年，德国数学家高斯，在总结前人结论的基础上，证明了代数基本定理：即n次方程必有n个根.对一个简单的方程：x2=x大家都能准确无误地求出它的解来：x1=0，x2=1.

提出新问题：随着数学的发展，我们的思维在提醒我们，你所求的只是有穷解，那么方程x2=x有没有无穷解呢？

解决方法：现在我们对方程x2=x的解从个位开始进行研究.要使x2=x，则x的个位数字只能是0，1，5，6四个，现在考虑个位数字是5，6的十位数，只能是如下结果：x3=……25，x4=……6.

先求x3的百位数字k（k为0至9的自然数），

设x3=……k25，

则……k25=x3=x23=（……k）2×104+2×（……k）×102×25+252=……625，∴k=6.

接下来再令x3=……t625，

则……t625=x3=x23=（……t）2×106+2×（……t）×103×625+6252

=（……t）2×106+125×（……t）×104+390625

=……0625，

∴t=0.

以上步骤可以一步一个脚印地做下去，得到一个满足x2=x的无限长的“数”，从推导的过程容易看出，这个无限长的“数”等于（（52）2）2…….

求x4的过程稍微复杂一点，可令x4=……k6，

则……k6=x4=x24=（……k）2×102+2×（……k）×10×6+62

=（……k）2×102+120×（……k）+36

=（……k）2×102+（……k）×102+2·（……k）×10+36，

∴k=2k+3，0≤k≤3 或k=2k+3-10，4≤k≤9k=7，

∴x4=……76，又设x4=……k76，

则……k76=x4=x24=（……k）2×104+2·（……k）×102×76+762=（……k）2×104+15200×（……k）+5776，

∴2k+7=k+10，∴k=3，从而x4=……376，

依此类推得到x4=……7109376=（（62）2）2……，

它和x1=0=（（02）2）2……，x2=1=（（12）2）2……在形式上是统一的.

这说明问题是数学的基石，问题推动着数学的发展.

二、常规问题2

如果两个边数相同的多边形，对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.同理对高中阶段的圆锥曲线来说，显然圆是相似的，椭圆（或双曲线）不是相似的.

提出新问题：那么所有的抛物线都是否相似呢？

解决方法：对两个不同的抛物线，当我们对它经过适当的旋转平移后总可使它们的顶点都移到坐标原点，开口都向上，使y轴成为它们的对称轴（图形如右），设两抛物线方程为C1;y=a1x2和C2，y=a2x2，（a1≠a2，a1，a2∈R+）为定值.从原点O作射线y=kx交C1，C2于A，B两点，可得Aka1，k2a1，Bka2，k2a2，∴|OA||OB|=k2a21+k4a21k2a22+k4a22=a2a1（为定值），

所以两抛物线C1，C2相似.由a1，a2的任意性知所有抛物线均相似.

推广：离心率相等的二次曲线都相似.

为什么抛物线会相似呢？是什么内在的原因决定了它们的相似，也许你会联想到，所有的圆确实都相似，但两个椭圆或两对双曲线就不一定相似了.对圆我们可以看成椭圆逐渐变化形成的一种极端情形，即椭圆的两个焦点重合.这时半焦距c=0，离心率e=ca=0，也就是说圆可以看成离心率为0的曲线.又抛物线的离心率恒为1.这两种相似的曲线的离心率都是定值，于是我们可以得到一个猜想：离心率相等的二次曲线都相似.这一结论是否正确呢？这是需要进行严格的研究证明的.为此可联想到圆锥曲线的统一方程：ρ=ep1-ecosθ，对两个离心率相同但焦参数不同的二次曲线C1：ρ=ep11-ecosθ和C2：ρ=ep21-ecosθ（其中p1，p2为非零常数且p1≠p2），过极点O作射线θ=θ0交C1于A，交C2于B，则|OA||OB|=ep11-ecosθ0ep21-ecosθ0=p1p2（为定值），这就说明了离心率相等的二次曲线都相似.

总之，在数学教学过程中，不能只是关注问题的解决，还要不断地总结反思，提出高层次的新问题，这样才能帮助我们在教授知识的过程中去理解知识，在分析问题与解决问题的过程中去提升自己的思维空间，从根本上提高自己的创新应用能力.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.