迭代计算问题

王小南

【摘要】迭代方法是现代计算数学的基本方法，迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果.借助用“牛顿切线法”和“二分法”求一元二次方程解的问题，考查理解运算对象、把握运算规律、表达运算结果、设计运算程序等一系列数学运算的思维活动.

【关键词】迭代;牛顿切线法;二分法

1.牛顿迭代法：设r是f（x）=0的根，选取x0作为r的初始近似值.过点（x0，f（x0））作曲线y=f（x）的切线L，直线L的方程为y=f（x0）+f（x0）（x-x0），求出切线L与x轴交点的横坐标为x1=x0-f（x0）f（x0）称x1为r的一次近似值.过点（x1，f（x1））作曲线的切线，并求出这条切线与x轴的焦点坐标x2=x1-f（x1）f（x1）称x2为r的二次近似值.重复以上过程，得到r的近似值序列，其中x（n+1）=xn-f（xn）f（xn）称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式.

2.二分法：一般地，对函数f（x），如果存在实数c，当 x=c的时候，此时f（x）=0，那么就把x=c叫作函数f（x）的零点.解方程即要求f（x）的所有零点.假定f（x）在区间（x，y）上连续，先找到a，b属于区间（x，y），使f（a），f（b）异号，说明在区间（a，b）内一定有零点存在，然后再求fa+b2，现在假设f（a）<0，f（b）>0，aa），从此开始继续使用中点函数值判断;如果fa+b2>0，则在区间a，a+b2内有零点，（注：a+b2

迭代法解方程的实质是按照下列步骤构造一个序列x0，x1，…，xn，来逐步逼近方程f（x）=0的解：

（1）选取适当的初值x0;

（2）确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f（x）=0改写为x=φ（x）的等价形式;

构造序列x0，x1，…，xn，即先求得x1=φ（x0），再求x2=φ（x1），…，如此反复迭代，就得到一个数列x0，x1，…，xn，若这个数列收敛，即存在极限，且函数φ（x）连续，则很容易得到这个极限值x*=limk→∞xk，x*就是方程f（x）=0的根.

牛顿迭代法：牛顿迭代法又称为切线法，它比一般的迭代法有更高的收敛度，牛顿迭代法公式可化简为：xn+1=xn-f（xn）f′（xn）.

二分法：用二分法求解方程f（x）=0的根的前提条件是：f（x）在求解的区间[a，b]上是连续的，且已知f（a）与f（b）异号，即f（a）·f（b）<0.

【例】研究一元二次方程x2+x-1=0的求解问题，这是经典的求黄金分割的方程式.令f（x）=x2+x-1.可以对其持续实施“牛顿切线法”的步骤：

在点（1，1）处作抛物线的切线交x轴于（x1，0）;

在点（x1，f（x1））处作抛物线的切线，交x轴于（x2，0）;

在点（x2，f（x2））处作抛物线的切线，交x轴于（x3，0）

……

得到一个数列{xn}.回答下列问题：

（1）求x1的值;

（2）设xn+1=g（xn），求g（x）的解析式;

（3）用“二分法”求方程的近似解，给出前四步结果.比较“牛顿切线法”和“二分法”的求解速度.

解 （1）求出抛物线在点（1，1）处切线方程y-1=f′（1）（x-1），得到y=3x-2.只需令y=0，即可以求得x1=23.

（2）求出抛物线在点（xn，f（xn））处的切线方程y=（2xn+1）（x-xn）+（x2n+xn-1）.然后令y=0，自然得到xn+1=x2n+12xn+1，进而g（xn）=x2n+12xn+1.

（3）用求根公式可以得到一元二次方程的正根为5-12，近似解为0.618，就是著名的黄金分割数.用“二分法”求方程近似解的前四步为：

因为f（0）=-1，f（1）=1，所以f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点;

因为f（0.5）=-0.25，所以f（x）在区间（0.5，1）内至少有一个零点;

因为f（0.75）=0.3125，所以f（x）在区间（0.5，0.75）内至少有一个零点;

因为f（0.625）=0.015625，所以f（x）在区间（0.5，0625）内至少有一个零点.

不难看出，用“二分法”计算前四步得到近似解为0625.同样从x=1出发，用“牛顿切线法”可求得第二步和第三步的近似解分别为x2≈0.619，x3≈0.618，比较“牛顿切线法”与“二分法”前几步的结果，可以看到“牛顿切线法”比“二分法”快得多.

【参考文献】

[1]张晓勇，王仲君.二分法和牛顿迭代法求解非线性方程的比较及应用[J].武汉理工大学，2013（9）：176.

[2]罗皓月，唐.基于牛顿迭代法研究CPhO中的数值方程[J].阿坝师范学院学报，2017（16）：158.

[3]李光华，李双娥.牛顿迭代法的直观诠释[J].哈尔滨职业技术学院学报，2016（3）：125.