再谈高考中的一些函数与不等式之研究

史健

在高中数学中经常会遇到含绝对值不等式问题，着实让教师、学生头疼，大多数会做的都采用“分类讨论”知识解决问题，而这种方法往往很复杂，难以讨论清楚.今天笔者向大家推荐“换元法”“纵向距离法”的解法，纯属个人解法，不足之处望批评指正！

问题呈现：2017年浙江高考第17题.

已知a∈R，函数f（x）=x+4x-a+a在区间[1，4]上最大值为5，则实数a的取值范围为.

初步看此题，很繁，又是绝对值讨论，但此题的数学思想是利用换元法简化问题的分析.

解法一 设t=x+4x，因为x∈[1，4]，则t∈[4，5].

问题化归为：函数f（t）=|t-a|+a在区间[4，5]上最大值为5，求实数a的取值范围.

则f（4）=|4-a|+a≤5，f（5）=|5-a|+a≤5， |4-a|≤5-a，|5-a|≤5-aa≤92.

解法二 利用绝对值不等式解决，使问题更加简单化.

f（4）=|4-a|+a≤5，f（5）=|5-a|+a≤510≥|（4-a）-（5-a）|+2a=1+2a，a≤92.

解法三 利用函数纵向距离问题，函数y=x+4x与 y=a的纵向距离最大值为5-a，

所以5-a≥5-42=12a≤92.

解法四 f（x）=|x+4x-a|+a在区间[1，4]上最大值为5，则

a-5≤x+4x-a≤5-a2a-5≤x+4x≤5（x∈[1，4]）2a-5≤4a≤92.

再练 若方程x3-2ax2+（a2+2）x=4a-4x恰有四个不等的正根，则实数a的取值范围为.

答案 a>32

思路一 x3-2ax2+（a2+2）x=4a-4x转化成三数和的平方公式.

（x2）2+（ax）2+22-2ax3-4ax-4x2=2x2（x2-ax+2）2=2x2.

思路二 构造关于x+2x为整理的方程，问题化归为研究方程t2-2at+a2-2=0有两个大于22的不同正根，可以利用根的分布，可以用韦达定理，也可以用函数思想.

练1 当x∈32，4时，不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立，则6a+b的最大值为.

练2 当x∈[1，4]时，不等式0≤ax3+bx2+4a|≤4x2恒成立，则a+b的最大值为.

练3 当x∈[1，2]时，不等式|ax4+bx2+4a|≤2x2恒成立，则a+b的最大值为.

练4 已知函数y=|x2-2x-t|（t为常数）在区间[0，3]的最大值为2，则实数t的值为.

温馨提示：

思路一 换元思想，设X=x2-2x，因为x∈[0，3]，所以X∈[-1，3].

问题化归为：函数y=|X-t|（t为常数）在区间[-1，3]的最大值为2，则实数t的值为.

解决问题方法一：|-1-t|≤2，|3-t|≤2-3≤t≤1，1≤t≤5t=1.

解决问题方法二：看成两个函数的纵向距离问题，y=X，X∈[-1，3]与函数y=t的纵向距离最大值为2，而函数y=X，X∈[-1，3]的纵向距离为4，所以y=t=1.

思路二 看成函数y=x2-2x与函数y=t的纵向距离最大值为2，而y=x2-2x，x∈[0，3]的纵向距离恰好为4，所以y=t=1.

思路三 最佳“逼近思想”用两曲线夹直线

y=|x2-2x-t|在区间[0，3]的最大值为2，

|x2-2x-t|≤2x2-2x-2≤t≤x2-2x+2（x∈[0，3]）.

思路四 最佳“逼近思想”用两直线夹曲线

|x2-2x-t|≤2t-2≤x2-2x≤t+2，x∈[0，3]，

而函数y=x2-2x，x∈[0，3]的纵向距离为4，两直线y=t+2与y=t-2的纵向距离也是4，所以t+2=3，t-2=-1t=1.

思考 若不等式|x2-2x-t|≤3（t为常数）在区间[0，3]恒成立，则t的取值范围为.

结束语

针对近年来高考中常用函數与不等式作为压轴题，我们应当如何应对，笔者的观点是以不变应万变，抓住函数的特性，尤其是初等函数的图像与性质要了如指掌，揭示问题的本质，做到如鱼得水.愿与大家共享，欢迎大家点评.