基于有限元方法求解带有年龄结构的种群模型

郝永乐,左 平,朱 青

(1.周口师范学院 数学与统计学院,河南 周口 466001;2.空军航空大学 基础部,长春 130022)

0 引 言

在生物种群中,年龄不同将导致种群内部例如生育率、死亡率、捕食能力等方面存在明显差异.因此,将种群按照年龄结构进行划分的模型能更好地反映个体的生理特征以及种群扩散程度.目前,对带有年龄结构种群模型的研究已取得了丰富的成果[1-6].偏微分方程求解数值解是近年来的研究热点,目前对具有年龄结构数学模型的研究主要集中在解的定性理论上,而对复杂偏微分生物模型的数值求解问题研究报道较少.本文考虑带有随机扩散项的种群模型[7]:

1 模型处理

为了对上述模型进行数值求解,先要对模型进行适当的处理和简化,步骤如下:

2) 对方程(1)和方程(4)关于年龄a进行积分;

3) 针对反应扩散系数进行处理[8-10],得到如下简化系统:

(8)

其中:

(9)

表示种群在t时刻的出生率;

(10)

表示种群在t时刻的死亡率;

(11)

表示种群在t时刻、位置x处的种群总量;

(12)

2 有限元方法

下面对所提出的偏微分模型进行数值解求解.首先给出方程(8)的变分形式:

(13)

将空间区域Ω剖分成有限个单元的集合Th,形成有限元网格.在一维空间中常用等分剖分,二维空间中常用三角剖分或四边形剖分.通常情况下,有限元方法要求网格是正规的.其次,构造有限元子空间,其由Th上所有属于C(Ω)的、多项式次数不大于p-1的分片多项式组成的子空间Sh形成.本文的数值实验使用等分剖分作为有限区间的网格.

制度贷款是由政府制定的一种长期低息贷款方式，其主要目的在于鼓励农业生产。该贷款方式主要分为三种类型：一是由政府出面进行担保，将银行中的一些资金用于农业生产；二是由政府进行担保和支付相应的利息费用，调用农协的资金；三是直接利用国家金融机构进行财政资金贷款。

ut(t,x): [0,T]→Sh,

使得

(14)

成立,其中u0h∈Sh是函数u0(x)在有限元空间Sh中的一个近似.注意到当有限元空间基函数给定时,式(14)为一个一阶常微分方程组,称其为半离散格式.关于半离散格式有如下误差估计:

定理1[11]设u为问题(8)的精确解,k次有限元空间Sh满足逼近性质:

并且初值满足

‖u0-u0h‖+h‖u0-u0h‖1≤Chk‖u0‖k,

则半离散格式的解uh(t,x)满足如下误差估计:

(15)

(16)

(17)

其中:tk-1/2=tk-τk/2;fk-1/2=f(tk-1/2,x).

当k(t),μ(t),β(t)均为常数时,有如下误差估计:

(19)

(20)

(21)

由式(19)～(21)可知结论成立.

3 数值模拟

下面利用上述差分格式对简化后的模型进行数值求解,其中参数如下：

真解为u=e-tsin πx.

有限元方法求解问题(8)的数值解、逐点误差及有限元方法的收敛阶情况分别如图1(A)～(C)所示.其中: 数值解与真实解在32×32网格下的误差在10-5内;图1(C)中“‖euh‖1”表示数值解的H1误差曲线,“1阶”表示标准一阶收敛曲线,“‖euh‖”表示数值解的L2误差曲线,“2阶”表示标准误差曲线.由图1(C)可见,有限元方法的L2误差满足二阶收敛,H1误差满足一阶收敛,与理论分析结果相符.

图1 有限元方法求解问题(8)的数值解(A)、逐点误差(B)及有限元方法的收敛阶(C)Fig.1 Numerical solution (A),pointwise error (B) and convergence order (C) of finite element for solving problem (8) by finite element method