平面无限板类声子晶体结构带隙计算方法研究

钱登辉 史治宇

摘要： 针对结构在xy平面内具有无限周期性而在z方向上具有有限尺寸的特性，提出了平面无限板类声子晶体的概念。根据结构特征，将平面波展开法和有限元法的基本理论相结合从而建立了平面波展开有限元结合法。通过与借助于有限元软件计算求得的能带结构进行对比，从不同材料组分、不同散射体形状以及不同组元数等多角度检验了该方法对平面无限板类声子晶体结构的精确性和适用性。为工程上减振降噪领域板类声子晶体的应用提供了全新有效的理论研究方法。

关键词： 平面无限板类声子晶体; 能带结构; 精确性; 适用性; 平面波展开有限元结合法

中图分类号： O735; O481.1  文献标志码： A  文章編号： 1004-4523（2019）05-0793-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.007

引 言

近几十年来，被称之为声子晶体的人造周期弹性复合结构已经吸引了国内外学者的广泛兴趣[1-3]。这类声子晶体结构以其独有的声/弹性带隙特性在滤波器、声波导以及传感器等应用方面存在很多潜在的可能[4-6]。在现有的研究当中，主要存在Bragg散射[7-8]和局域共振[9-10]这两种带隙形成机制，并且前者带隙所对应的频段要比后者高两个数量级[9]。近几年来，将声子晶体的设计思想引入到一些基本弹性结构中所构成的声子晶体杆、声子晶体梁以及声子晶体板等结构也获得了一批学者的关注和研究[11-21]。

总的来说，不论是带隙特性还是应用性研究，均离不开行之有效的能带结构计算方法。目前比较成熟的方法有传递矩阵法[22-23]、有限差分法[24-25]、多重散射法[26-27]、集中质量法[28-29]、平面波展开法[30-33]和有限元法[34-35]。传递矩阵法一般先建立单个周期的传递矩阵，继而结合周期边界条件关联相邻层参数，从而求得精确解。具有计算量小，可以获取传输特性的解析解等优点，但只适用于一维声子晶体。多重散射法具有收敛性好、适用性强、揭示带隙机理等优点，但对散射体的形状太过依赖，只能计算形状为圆柱或球体的声子晶体。有限差分法可以有效计算不同种类声子晶体的能带结构，但在三维问题方面存在计算量过于庞大、稳定性差和数值频散等问题。平面波展开法是声子晶体研究中最常用的算法之一，可以很好地应用于只包含固体或流体的声子晶体。收敛性是平面波展开法最常被提到的问题，且无法用于精确计算由固体和流体材料组合而成的声子晶体。集中质量法通过将连续介质中的密度集中到有限个节点上从而将连续系统问题转化为相应离散问题，具有收敛性不受材料弹性常数影响且可以处理任意单元结构等优点，但它只适用于固/固声子晶体。近年来，随着COMSOL Multiphysics，ATILA等可以设置Floquet周期边界条件的商业软件的出现和发展，有限元法在声子晶体相关研究中的应用越来越广泛[13，16-19]。有限元法收敛性好、通用性强，可以被用于计算各种类型声子晶体以及有缺陷的声子晶体的能带结构。但该方法一般要对较多Bloch波矢逐一进行计算，在处理稍微复杂的声子晶体结构时整个过程计算效率并不高，而且囿于现有软件，计算效率也很难提高。对于本文提出的平面无限板类声子晶体结构，碍于其结构特性，上述方法中除有限元法外其余方法均不适用。

对于研究已较为成熟的传统声子晶体，不论一维、二维还是三维，其尺寸在空间三个方向上均是理想化的无限大。而实际工程中很多结构，往往在其中两个方向上尺寸很大且具有周期性，而在另外一个方向上尺寸相对较小且并无周期性。本文将这种类型的周期弹性复合结构称之为平面无限板类声子晶体结构，其与传统声子晶体结构的区别在于并非所有方向的尺寸均无限大。根据结构在xy平面内具有的无限周期性以及在z方向上具有的有限性，笔者将空间傅里叶级数展开和有限单元划分进行耦合来描述空间位移场，从而建立平面波展开有限元结合法并用于能带结构计算。为了验证该方法的适用性，本文分别从不同材料组分、不同散射体形状以及不同组元数这三个方面加以比较说明。此外，为了验证该方法的准确性，所有计算结果均与有限元法进行对比。有限元法的有效实施借助于商业软件COMSOL Multiphysics。

1 模型以及公式化

平面无限板类声子晶体的结构示意图如图1（a）所示。从图中可以看出，该类声子晶体结构是通过将基体材料沿着周期方向周期性挖孔并填充另外一种材料而构成。该声子晶体沿着非周期方向的长度是H，沿着周期方向的晶格常量为a，具体晶胞如图1（b）所示。

根据变分原理以及参照无限杆类声子晶体结构的推导过程[37]，耦合倒格矢空间下的系统动力学平衡方程可以写为K-ω2Mδ=0

（14）式中 K=∑eKe和M=∑eMe分别表示由单元刚度矩阵和单元质量矩阵组装而成的总刚度矩阵和总质量矩阵，其中仅包含在z方向的单元划分，而在xy平面内是空间傅里叶级数的展开形式。δ=∑eδe则表示总的节点位移矢量。

方程（14）即典型的关于ω2的广义特征值问题。对于每一给定的波矢k，通过求解广义特征值可得到相对应的一系列特征频率。通过遍历所有的不可约Brillouin区边界上的波矢，最终得到该平面无限板类声子晶体的能带结构。

2 数值结果和分析

本节分别从不同材料组分、不同散射体形状以及不同组元数呈现了3组算例（如图2所示）。为了检验该方法的准确性，每组算例计算得到的能带结构均与采用有限元法计算获得的结果进行对比。其中，有限元法的实现借助于商业软件COMSOL Multiphysics，而平面波展开有限元结合法采用文献[38]中介绍的改进平面波展开法来提高计算精度。

2.1 由不同组元材料构成的圆柱状散射体二元平面无限板类声子晶体  首先，计算以铅为散射体橡胶为基体的圆柱状散射体二元平面无限板类声子晶体的能带结构，其晶胞结构如图2（a）所示。计算所用到的材料参数和几何参数分别如表1和2所示。

图3给出了计算所得到的该平面无限板类声子晶体能带结构。在这里，xy平面内的倒格矢个数取N=（5*2+1）2个，沿z方向单元数取5个。作为对比，图3同样给出了用有限元法求得的能带结构。从图中可以看出，该声子晶体在低频段打开较为宽广的带隙。此外，通过对比两种方法求得的能带结构，它们几乎完全吻合。因此，对于散射体为圆柱状的铅/橡胶平面无限板类声子晶体，只需在xy平面内取少量的平面波数以及在z方向取少许的单元数就可以得到相当精确的结果。

为了验证平面波展开有限元结合法对组元材料各异的平面无限板类声子晶体的适用性，分别计算了散射体为圆柱狀的钢/环氧树脂和钢/铝平面无限板类声子晶体的能带结构，如图4所示。计算所用到的几何参数与图3中算例一致，且材料参数如表1所示。此外，计算所选取的倒格矢个数和单元数也与图3中算例相同。从图4（a）中可以看出，钢/环氧树脂声子晶体可以在高频打开很宽的布拉格散射型带隙，而图4（b）则显示钢/铝声子晶体并未打开带隙。

此外，对比图3，4（a）和4（b）中两种方法求得的能带结构，虽然构成声子晶体的组元材料不同，但两种方法计算得到的前几阶能带均能很好吻合。因此，可以作如下结论：平面波展开有限元结合法可以很好地用来计算不同组元材料构成的平面无限板类声子晶体。但是图中也显示出了高阶能带虽然大致趋势相同，但还是存在一定差异性，并不能如低阶能带一样几乎完全吻合。这可以归因于平面波展开法与有限元法计算能带结构时所采用的数值理论不同，前者为空间傅里叶级数展开而后者为单元划分。这在分别选用平面波展开法和有限元法计算传统声子晶体的能带结构时展现出来的现象是一致的[1]。

2.2 散射体为不同形状的二元平面无限板类声子晶体  为了验证平面波展开有限元结合法对散射体为不同形状的平面无限板类声子晶体的适用性，计算了散射体为长方体状的铅/橡胶平面无限板类声子晶体（晶胞如图2（b）所示）的能带结构，如图5所示。计算所用的材料参数和几何参数分别如表1和2所示。

从图5中可以看出，用平面波展开有限元结合法和有限元法这两种方法所求得的能带结构在低阶基本一致，而在高阶则趋势相同但有所偏差。如上一小节所述，这是由数值方法的基本理论本身决定的，因此平面波展开有限元结合法同样可以有效地用于计算散射体为长方体状的平面无限板类声子晶体能带结构。综合图3和5，可以下结论为：本文提出的方法对散射体截面形状为矩形和圆形的二元平面无限板类声子晶体均可适用。

2.3 圆柱状散射体三元平面无限板类声子晶体

为了进一步验证平面波展开有限元结合法对三元平面无限板类声子晶体的适用性，计算了由橡胶包覆的铅圆柱状散射体埋在环氧树脂基体中所构成的三元平面无限板类声子晶体的能带结构，单胞如图2（c）所示。计算所用到的材料参数和几何参数分别如表1和2所示。

3 结 论

本文针对平面无限板类声子晶体具备的结构特性，建立了计算其能带结构的平面波展开有限元结合法，并给出了详细的公式推导。所有能带结构均与有限元法计算得到的结果有很好的一致性。此外，给出了三组算例来从多角度讨论了该方法的适用性。得到以下主要结论：

1）通过对比分析散射体为圆柱状的铅/橡胶、钢/环氧树脂和钢/铝二元平面无限板类声子晶体的能带结构，可以下结论为：平面波展开有限元结合法适用于由不同组分材料构成的平面无限板类声子晶体结构。

2）通过对比分析散射体形状为圆柱状和长方体状的二元平面无限板类声子晶体的能带结构，可以下结论为：本文提出的方法适用于散射体截面形状为圆形和矩形的平面无限板类声子晶体结构。

3）通过对比分析散射体为圆柱状的铅/橡胶二元平面无限板类声子晶体和橡胶包裹的铅/环氧树脂三元平面无限板类声子晶体的能带结构，可以下结论为：本文提出的方法不仅适用于二元，而且适用于三元平面无限板类声子晶体。

所有研究结果均验证了平面波展开有限元结合法具备强适用性和高精确性，只需少量的单元数和倒格矢个数就可以获得足够精确的结果，这为处理这类在xy平面具有周期性而在z方向具有有限性的半无限周期弹性复合结构提供了一个新的方法。但目前该方法只能用于沿z方向xy截面是常量的结构，对更为一般的结构还有待进一步研究。

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Abstract： The concept of plane-infinite plate-like phononic crystal （PC） is proposed， which has the infinite periodicity in x-y plane and finiteness in z-direction. The plane wave expansion （PWE） and finite element （FE） methods are coupled and formulized to calculate the band structures of the proposed periodic elastic composite structures based on the typical geometric properties. Comparing the results with those calculated by adopting commercial FE software， the applicability and accuracy are verified from different points such as component materials， scatter shapes， component numbers. The paper provides a new and effective theoretical investigation method for plate-like PC in the field of vibration and noise reduction in engineering.

Key words： plane-infinite plate-like phononic crystal; band structure; accuracy; applicability; PWE/FE method

作者簡介： 钱登辉（1991-），男，讲师。电话：（0512）68787927;E-mail：dhqian@usts.edu.cn