打开抽屉巧解题

◎谢平华

抽屉原理是德国数学家狄利克雷最早发现并应用于数论研究的。后人为了纪念他，就把抽屉原理叫作狄利克雷重叠原理。即把多于n+1个的苹果放进n个抽屉里，那么，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把苹果换成鸽子，把抽屉换成笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫作鸽巢原理。不要小看这个原理，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。

例1：在1米长的线段上随意点上5个点，说明至少有两个点之间的距离不大于25厘米。

分析与解：把1米长的线段平均分成四段，每段长25厘米。把每一段看作一个抽屉，把5个点看作5个苹果，5个苹果放入4个抽屉，总有一个抽屉里至少放入两个苹果，也就是有一段里至少有两个点，这两个点之间的距离一定不大于25 厘米，所以结论是成立的。

例2：有5 个小朋友，每人都从装有许多黑白棋子的布袋中任意摸出3 枚棋子。请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子颜色配组是一样的。

分析与解：首先要确定3 枚棋子可以有多少种不同的配组情况，可以有“3黑、2黑1白、1黑2白、3白”共4种，即4个抽屉。把每人的3枚棋子作为一组当作一个苹果，即有5 个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是至少有两个小朋友摸出的棋子颜色配组是一样的。

例3：上衣和裤子分别有红、黄、蓝3种颜色，同学们可以任意选择上衣和裤子穿上。至少要有几名学生，才能保证有两名学生穿的上衣和裤子颜色相同？

分析与解：本题中，我们把上衣和裤子的几种搭配情况看作抽屉，问题就可解决。3种颜色的上衣和裤子的搭配情况有以下9种：红上衣红裤子、红上衣黄裤子、红上衣蓝裤子、黄上衣红裤子、黄上衣黄裤子、黄上衣蓝裤子、蓝上衣红裤子、蓝上衣黄裤子、蓝上衣蓝裤子。把每一种搭配看作一个抽屉，共9 个抽屉。要保证有两名学生穿的上衣、裤子颜色都相同，即要保证有一个抽屉至少放两个苹果，所以至少要9+1=10（个）苹果，也就是说至少要有10名学生，才能保证有两名学生穿的上衣和裤子的颜色相同。