“黄金代换”公式的理解和运用

■刘贻斌

“黄金代换”公式是《万有引力与航天》章节中的一个重要规律，教材中虽然没有明确写出此公式，但它在解决天体运动问题中有着极其广泛的应用。下面对其做一个深刻剖析，以帮助同学们加深对它的理解。

“黄金代换”公式的得出：某中心天体的质量为M，一质量为m的物体在高空距中心天体球心的距离为R，物体所受万有引力等于它的重力，即，则GM=gR2，因为gR2和GM可以相互替换，所以在物理学中将GM=gR2称为“黄金代换”公式，其中R为物体距中心天体球心的距离，g为物体所在处的重力加速度。

1.利用“黄金代换”公式可以求中心天体的质量：将公式变形得，若已知g、R，则可求中心天体的质量。

例1某同学为探月航天员设计了如下实验：在月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，测得该物体的水平位移为x，通过查阅资料知道月球半径为R，引力常量为G，假设物体只受月球引力作用，求月球的质量M。

解：物体抛出后，在月球表面做平抛运动，在竖直方向上有，在水平方向上有x=v0t，联立以上两式解得月球表面的重力加速度。将“黄金代换”公式变形得。

2.利用“黄金代换”公式可以求高空某处的重力加速度：将公式变形得，若已知M、R，则可求高空某处的重力加速度。

例2(2015·重庆)航天员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )。

A.0 B

解：将“黄金代换”公式变形得，式中“R”等于R+h，因此，选项C正确。

3.“黄金代换”公式成立的条件：物体所受万有引力等于物体重力。

例3(2016·四川)经国务院批复同意自2016年起，将每年的4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射人造地球卫星东方红一号，目前仍在空间轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度约为2060km;1984年4月8日我国成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空3578km的地球同步轨道上。设东方红一号卫星远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系是( )。

A.a2＞a1＞a3

B.a3＞a2＞a1

C.a3＞a1＞a2

D.a1＞a2＞a3

解：东方红一号卫星、东方红二号卫星所受万有引力等于重力，a1、a2为卫星的向心加速度，也为卫星所在处的重力加速度，将“黄金代换”公式变形得，由“R”的大小关系可知a1＞a2。a3不是物体所在处的重力加速度，因为物体在地球表面随地球自转时万有引力的一个分力充当向心力，另一个分力是重力，万有引力与重力不相等，不能用“黄金代换”公式的变形式来判断。由公式a=ω2R，且物体与东方红二号卫星的ω相等，结合“R”的大小关系可知a2＞a3。所以选项D正确。

4.“黄金代换”公式中的R与g有对应性：公式GM=gR2中，g与R必须是针对同一位置而言的。

例4已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响，一卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。

解：选卫星为研究对象，则，又有GM=gR2，解得。

5.利用“黄金代换”公式，可把不同中心天体联系起来。

例5(2017·海南)已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍，若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月与s地，则s月∶s地约为( )。

A.9∶4 B.6∶1

C.3∶2 D.1∶1

解：因为忽略地球自转的影响，所以物体在地球表面受到的万有引力等于重力，则因此。由平抛运动规律得s=v0t=选项A正确。