中美初中“分式”内容比较研究

叶立军　丁蓉蓉

【摘 要】从宏观与微观两个角度对浙教版、人教版和美GMH版教材“分式”教学内容进行比较，得出启示：关注过程性目标，注重培养“四基”;增加“知识拓展”内容，构建系统化的知识体系;注重类比思想，构建体系化的知识结构;注重知识变式，完善学生的数学认知结构;充分挖掘数学美，激发学生学习兴趣.

【关键词】 宏观比较;微观比较;浙教版;人教版;美GMH版;分式

1 问题提出

作为教学的重要载体，教材在教学中起着极其重要的作用.中美教材的对比分析，不仅能了解我国数学教材的编写风格、层次与特色，而且能发现不同数学教材之间的差异及可取之处[1].分式与分式方程作为初中数学知识体系的重点组成部分，具有整式和整式方程不可替代的特殊作用.因此，对比解读中美不同版本教材中的“分式”内容，挖掘中美两国初中阶段“分式”的编写特征，可取长补短，为我国初中教材编写以及课程建设提供参考.2 研究对象

“分式”内容分别选自美国Glencoe McGraw-Hill出版社（下简称美GMH版）、人民教育出版社（下简称人教版）、浙江教育出版社（下简称浙教版）出版的教材.3 宏观分析

3.1 背景信息的比较

将三版教材的分式内容按背景信息进行比较[2]，结果如表1.

浙教版有关分式的内容共25页，人教版有关分式的内容共32页，美GMH版有关分式的内容共57页.《义务教育数学课程标准（2011年版）》中“了解”的结果性目标有一处，“能”的结果性目标有两处;美GMH版教学标准中“能”的结果性目标有两处，“学会”的结果性目标有一处.三版教材标准的行为动词均集中于结果性目标，侧重于学生的基础知识与基本技能.

3.2 章节编排顺序的比较

将三版教材的分式内容按照章节编排顺序作比较[3]，结果如表2所示.

關于分式内容的编排，浙教版在七年级，人教版在八年级，上行章节均为因式分解，与本章的内容关系密切，有助于分式基本性质与四则运算的研究与学习;美GMH版排在九年级，上行章节为根式和三角形，与分式的关联度较低.三版教材整体的编排主线一致，均为分式表达式到分式的运算再到分式方程.不同的是，浙教版与人教版将分式的乘除、加减运算编排在同一节，美GMH版将其分为有理式乘法、有理式除法、多项式除法、同分母的加减法、异分母的加减法、复杂分式的混合运算，每一节均进行详细编写，美GMH版比较重视学生基础知识与技能的理解与掌握.

4 微观分析

“分式概念”、“分式的基本性质”为“分式”章节的伊始部分与重要内容，选取浙教版、人教版、美GMH版教材的这部分共同内容，从知识点的呈现方式、背景[4]与例习题的难度三个维度进行分析.结果如下：

4.1 知识点呈现方式的比较

根据知识点呈现方式的比较模型，对分式概念的呈现方式进行了比较研究，结果如表3所示.

从表3可得：

第一，知识导入方面，浙教版通过生活实例引入，让学生初步体会分式的形式与意义;人教版采用变式教学引入，由具体数字逐步过渡到抽象字母，既引导学生思维，又兼顾知识间的联系，也发展了学生的符号意识;美GMH版选取物理知识引入，展示了不同学科、不同领域之间的融合，让学生体验分式在科学技术中的作用.

第二，知识体验与表征方面，浙教版与人教版均采用分数类比的方式（见图1，图2），从形式与内容两个角度进行观察对比;美GMH版直接给出分式定义与有意义的条件（见图3），缺少知识体验过程.

第三、知识讲解与应用—课内练习两方面，人教版均选用类比的方式对知识进行叙述与应用;浙教版采用变式方法进行练习，由简单分式中分母的限制条件，到复杂分式中分母的限制条件，并处于学生的“最近发展区”;美GMH版无这部分内容.

第四、知识应用—例习题方面，三版教材均对基础知识进行应用，并创设能使学生投入的、具探索性的实际问题求解情境，凸显了教材对学生的阅读理解能力，分析、解决问题能力的重视.

在知识拓展方面，三版教材均无涉及.

此外，美GMH版表述分式有意义的条件的方式与另两版教材不同，美GMH版有其特定的名称，“满足分式分母为零的值称为排除值（Excluded Values）”.

从表4可得，

第一，知识导入方面，浙教版利用几何图形，引导学生通过规律发现分式的性质，定向学生的思维，为进一步学习打基础，人教版和美GMH版缺少导入.

第二，知识体验与表征方面，浙教版与人教版均由分数性质类比得到分式性质，符合学生逻辑思维，有利于学生连贯性思维的培养，美GMH版采用直接用语言、符号表述分式的性质，缺少体验过程.

第三，知识讲解方面，浙教版在基本性质之后进行了举例说明，人教版和美GMH版均无举例.

第四，知识应用方面，为进一步加强学生对分式基本性质的理解与掌握，三版教材均编排了应用分式基本性质的例习题.相比之下，美GMH版例习题的类型较多，除了基本的计算题、应用题，还有开放题，推理题、挑战题等，题型较为新颖，题材较为广泛，为学生提供了较为轻松自由的环境，有利于培养学生发散思维、探究思维、创新意识.

第五，知识拓展方面，美GMH版设置了图形计算器对分式进行约分，重视学生思维的拓展和课外知识的学习，浙教版与人教版均无编排.

4.2 知识背景的比较

将三版教材关于“分式”与“分式的基本性质”内容按照知识背景进行比较，结果如图4所示.

浙教版人教版美GMH版图4 三版教材“分式”及“分式的基本性质”的知识背景比较

三版教材显然最为重视知识的数学背景，浙教版与人教版知识的数学背景与生活背景比例几乎一致，文化背景与科学背景均无，但其数学背景的比例高于美GMH版.三版教材知识的生活背景比例相近，相对而言，美GMH版知识的科学背景比例较高，文化背景也有所涉及，知识背景的范围较广.三版教材均较重视知识在现实情境中的运用，美GMH版知识的背景更为全面，注重数学知识与其他领域的联系.

4.3 例习题综合难度的比较

引用鲍建生的五因素多水平的综合难度模型[5][6][7]对三版教材“分式、分式的基本性质”内容例、习题的综合难度进行比较，结果如表5：

从综合难度分析，三版教材在“认知”、“运算”方面的数值最高，在“背景”、“推理”方面的数值较低，说明三版教材均重视学生运算能力与认知能力的培养，注重“基础知识”、“基本技能”的教学.

从认知因素分析，三版教材“领会”水平的例习题百分比最高，说明中美两国教材均重视知识的理解与灵活运用.美GMH版还编排了开放题、探究题与挑战题，此类题目具开放性，不确定性与探究性，认知水平高，浙教版与人教版无设置“探究理解性水平”的题目，相比之下，浙教版与人教版的例习题较为常规与程序化.

从背景因素分析，三版教材无背景的例习题最多，以个人生活、公共常识、科学情境为背景的例习题百分比较低或无，其中，美GMH版四个方面均有涉及，例习题背景较丰富.

从运算因素分析，三版教材均侧重于简单符号运算与复杂符号运算，重视培养学生的符号感、符号意识与运算能力，这与选取的章节为“分式”有一定的关系.

从推理因素分析，三版教材直接应用定义与性质的无推理例习题百分比最高，简单符号推理的例习题百分比次之，复杂符号推理的例习题百分比最低，都重视学生逻辑推理能力的培养与思维的发展.

从知识综合因素分析，三版教材的数值几乎一致，浙教版考察“多个知识点”的例习题百分比最高，人教版考察“两个知识点”的例习题百分比最高，美GMH版三个方面的比例比较均匀，中国的两版教材更重视考察分式的定义、性质、因式分解、平方差、完全平方、约分等知识点的联结，注重知识之间的联系与应用.5 启示

5.1 关注过程性目标，注重培养“四基”

《義务教育数学课程标准（2011年版）》提出学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验[8].对于“分式”的学习，不仅要教学生“分式”的知识和技能性结果，还要包括结果的形成过程，从而理解“分式”的出处，“分式”的形成，“分式”的学习目的等.学生通过亲身经历各种数学活动，可提高对数学知识的理解与情感态度，培养创新思维与探究能力.

5.2 增加“知识拓展”内容，构建系统化的知识体系

系统的教材资源对于培养学生的核心素养，发展学生的数学思维，建立好奇心与求知欲等方面，具有不可取代的作用与功能.一本“好”教材应“有始有终”，浙教版教材在“情境引入”，“知识体验”，“知识表征”等环节面面俱到，唯独缺少“知识拓展”的呈现，可借鉴美GMH版教材，将分式与信息技术结合，介绍如何用图形计算器验证所得的结果，既拓展了学生自主学习空间，又培养了学生的应用意识与探究精神，由这样相互联系、相互作用的若干知识环节组成的有机整体有助于构建知识框架，有利于知识的系统化.

5.3 注重类比思想，构建体系化的知识结构

教材是学生获得知识的重要材料，是进行预习与复习的有效工具.教材中引导学生自主学习的方法尤为关键，分式内容的教学，类比方法应贯穿始终.分式概念，分式有意义的条件，分式性质的学习，均可基于学生已有经验，通过类比思想的指导，将具有一定关系的知识要素按其存在的相互联系、相互作用的方式与顺序组合起来，从而形成框架式、结构式的呈现，最终发展学生的数学逻辑思维.

5.4 注重知识变式，完善学生的数学认知结构

浙教版与人教版教材，均采用了问题变式，通过一题多变，培养学生归纳思想，以及基于已有认知灵活解决问题的能力，从而帮助学生掌握解题技巧，更进一步，通过变式练习可提升学生学习知识与方法的迁移能力，掌握知识的本质属性，把解决具体问题的方法迁移到更高水平的相似问题之中，促进学生认知结构的优化，提高学生的探索能力.美GMH版采用一题多解的开放题，突破学生常规思维，考察学生分析、应变与探究能力，提高学生的学习效率.同时，创新问题背景，增加具有适当难度的符号运算，可提高学生的探究性理解水平与知识对学生的启发性，更好地发挥习题的作用，促进学生知识体系的完善.

5.5 充分挖掘数学美，激发学生学习兴趣

挖掘教材中的美学因素，从“美”的角度观察数学，有利于培养学生的核心素养.在实际教学中，教师可带领学生通过观察分式化简得到数学的简洁美，观察分式分子分母“同乘以”或“同除以”得到数学的对称美，通过类比方法感悟到数学的和谐之美，从而体会到化简与约分的必要性与实用性，提高学生的自主学习兴趣，并且增加数学课堂教学的艺术性.

参考文献

[1]叶立军，王晓楠.中美高中数学教材比较研究——以“几何概型”为例[J].数学教育学报，2012，21（02）：49-52.

[2]叶立军，傅建奇.中美初中几何教材比较研究——以“全等三角形”为例[J].中学数学杂志，2017（10）：35-41.

[3]叶立军，陈思思.浙教版和东京版初中数学教材比较研究——以“特殊三角形”与“三角形”对比为例[J].中学数学杂志，2015（02）：30-33.

[4]叶立军，斯海霞.中美几何教材比较研究——基于“三角形全等的条件”的教材内容[J].中国数学教育，2012（23）：11-15.

[5]王建磐，鲍建生.高中数学教材中例题的综合难度的国际比较[J].全球教育展望，2014，43（08）：101-110.

[6]鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002，31（09）：48-52.

[7]高文君，鲍建生.中美教材习题的数学认知水平比较——以二次方程及函数为例[J].数学教育学报，2009，18（04）：57-60.

[8]全日制义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2001.