借助数学思想巧解函数“零点”问题

黄苏梅

(福建省南靖一中 363600)

函数“零点”问题是数学函数教学内容的重点和难度，同时也是连接代数和几何的枢纽，据有高度的综合性.所谓的函数零点，从代数的角度来说是方程的实根，即对于函数y=f(x)，当y=0的时候，x的实数解就是函数的零点；从几何的角度来说，函数零点就是函数y=f(x)的图象与横坐标轴的交点的坐标.在新课程的背景下，函数“零点”问题逐渐成为教师、学生关注的焦点，也是高考的热点，笔者借助数学思想，对有关函数“零点”问题的几种类型进行巧妙解决.

一、借助“转化思想”巧解

转化思想是高中数学一种常用的解题方法，通过转化思想的运用，将未知的问题进行分析、对比或联想，采用正确的数学手段进行转化，从而变成已知的问题或熟悉的问题，然后运用已知的方法进行解决.转化思想的实质是“寻求联系，实现转化”.

例1 如果函数f(x)=x2-ax+2在区间[0,1]内至少有一个零点，那么实数a的取值范围是____.

∵易知函数g(x)在(0,1]上单调递减，∴g(x)∈[3,+).

故所求实数a的取值范围是[3,+).

评注上述求解过程进行了两次转化——第一次将函数有零点转化为对应方程有实数解；第二次通过分离参数将求参数的取值范围转化为求对应函数的值域.

变式2 如果函数f(x)=x2lna-2x+2只有一个零点在区间(1,2)上，那么实数a的取值范围是____.

总结这类试题一般都需要用转化思想将未知的函数转化为已知的函数，即通过函数零点与x轴交点的性质，令函数f(x)=0，从而构建新的关于a和x的函数，零点所在的范围转化为新函数的定义域，实数a的取值范围转化为新函数的值域，这样，看似复杂的函数零点问题，就通过化归思想变为学生熟悉的给出定义域求值域的问题，从而有效地解决问题.

二、借助“数形结合思想”巧解

高中数学问题中，“数”与“形”是不分彼此的两个方面，“形”是“数”的直观体现，“数”是“形”的精确描述，数形结合思想就是将“数”与“形”联系起来，对问题进行综合的分析和解决.华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”由此可见，数形结合的巧妙应用，可以起到事半功倍的效果.

例2 已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=log2x-2的零点分别为a,b,c，则( ).

A.a

解析∵函数f(x)的零点就是方程2x=-x的根，∴通过在同一坐标系内作函数y=2x和y=-x的图象，经观察即知a<0.

∵函数g(x)的零点就是方程log2x=-x的根，∴通过在同一坐标系内作函数y=log2x和y=-x的图象，经观察即知0

∵函数h(x)=log2x-2的零点为c，∴log2c-2=0⟹c=4.

综上知，a

评注本题主要考查指数函数、对数函数的图象与函数零点的交汇，此外要注意比较大小时经常要以“0”、“1”等作为桥梁.

变式设函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x的零点分别为a,b，则( ).

A.ab>0 B.ab<0 C.ab>1 D.ab<1

总结数形结合思想是解决函数“零点”问题的有效方法，通过函数零点的概念，可以通过函数的图象让学生直接观察出函数与坐标轴的交点(或函数与函数的交点)，从而顺利地解决问题.在涉及有关函数“零点”问题的时候，如果只是一个函数的零点问题，这个一般运用代数的方法可能更直接、更精确，而当试题涉及到两个或以上函数的“零点”问题，并求这些组合函数零点的范围、比较大小、求和、求积的时候，代数的方法往往不能够得出答案，这就需要考虑数形结合思想，将组合函数进行拆分，并在坐标中画出这些函数的图象，所求问题的答案就跃然于纸上，数形结合的优势自然地体现出来.

三、借助“分类与整合思想”巧解

分类与整合思想就是在对一个问题进行分析的时候，问题存在多种的情况，这就需要学生根据数学原理对问题进行分类，并根据所分的类别进行逐一分析，在分类的时候要不多不少，最后对满足题意的解进行整合，从而得出答案.“化整为零”、“各个击破”是对分类整合思想形象的描述.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：标准统一，不漏不重.

例3已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2-2mx+m.若函数f(x)只有两个不同的零点，则实数m的取值范围是____.

解析注意到二次函数y=x2-2mx+m的图象开口向上，必过点(0,m)，且对称轴为x=m.于是，本题可分以下三种情况加以讨论.

(1)若m>0，则由函数f(x)的图象必过点(0,m)且关于y轴对称，易知为满足题意应使Δ=(-2m)2-4×1×m=0，又m>0，解得m=1.

(2)若m=0，则∵函数f(x)=x2只有一个零点，∴m=0不适合题意.

(3)若m<0，则通过作出函数f(x)的大致图象判断即知，此时函数f(x)必有两个不同的零点，适合题意.

综上知，所求实数m的取值范围是(-,0)∪{1}.

评注(1)本题具有综合性，主要考查函数的奇偶性、二次函数的图象和性质以及函数的零点.(2)由于含参二次函数y=x2-2mx+m图象的对称轴位置不确定，所以灵活运用“分类与整合思想”是本题顺利求解的关键所在.

综上，关注有关数学思想在求解函数“零点”问题中的灵活运用，有利于迅速探求具体的解题思路，逐步提高分析、解决此类问题的实际能力，且学且悟且应用！