脆性材料矩形截面构件偏心受压问题分析

郝文斌 刘科元

摘 要：针对脆性材料偏心受压构件的力学强度性能安全分析，本文分别研究了受拉、受压两种破坏状态。针对受拉破坏，主要通过减小偏心距来控制，并通过计算得到了小偏心受压区域;针对受压破坏，主要通过减小荷载来控制，并通过计算得到了许用荷载与偏心距的关系。本文研究结果对工程有一定的参考价值。

关键词：脆性材料;小偏心;强度;许用荷载

偏心受压是各类工程中常见的受力形式，特别是工业厂房中的牛腿、偏心受压柱，机械行业中的夹具等。脆性材料由于其良好的受压力学性能和低廉的价格被广泛应用于受压构件中。由于脆性材料受拉力学性能较差，受压力学性能有限，其强度问题不容忽视。本文主要以矩形截面为例研究偏心受压构件的强度问题，确保构件的安全。

1 偏心受压与偏心距

偏心受压是指荷载（压力）合力的作用线不经过构件截面形心的受压状态，偏心受压的本质是轴心压缩与弯曲的组合变形。偏心距e为荷载作用线距离截面形心的距离。

2 偏心压缩内力分析

根据力线平移定理，偏心受压构件的荷载可以等效为轴心压力和力偶矩，其中轴心压力等于压力，力偶矩等于荷载与偏心距的乘积。相对应的，其产生的截面内力包括轴力和弯矩，其中轴力N=F，弯矩M=Fe。

3 偏心压缩应力分析

由偏心受压构件的内力可知偏心受压构件的应力主要为正应力σ，由两部分产生，一部分是由轴向压力N产生的轴向压应力σN，另一部分为弯矩产生的弯曲正应力σM。

轴向压应力的确定比较简单：

σN=NA=FA（1）

式中，F为荷载压力，A為截面面积。

弯曲正应力的确定首先要确定中性轴，中性轴为通过截面形心且与偏心距垂直的直线m。则截面上某点M处的弯曲正应力为：

σM=MeIm=FenIm（2）

式中，e为偏心距，n为截面M点到中性轴的垂直距离，Im为截面对中性轴m的轴惯性矩。

根据叠加原理可得M点处的正应力为：

σ=-σN±σM=-FA±FenIm（3）

4 小偏心压缩条件

小偏心受压是指由于构件材料受拉力学性能较差，要保证构件截面任意处均不能处于受拉状态。即：

σ=-σN±σM=-FA±FenSymbolcB@ 0（4）

对于矩形截面，弯曲正应力最大的点在荷载作用点对立象限的顶点处。因此为保证上述条件，只要保证荷载作用点对立象限的顶点处的正应力满足上述条件，则其他各点均能满足。

为进一步确定顶点处的应力，可将上述弯曲正应力的求解分解到Y轴和Z轴，偏心距e用坐标ey，ez表示，轴惯性矩分别用IY和IZ表示，则顶点处的正应力为：

σ=-σN±σM=-FA±FenIm=-FA+Feyb2IZ+Fezh2IY（5）

式中，b为截面宽度，h为截面高度，IZ=hb312=Ab212为截面对Z轴的惯性矩，IY=bh312=Ah212为截面对Y轴的惯性矩。

将惯性矩公式代入式（5）并考虑到公式（4）的条件，有：

-FA-6FeybAb2-SymbolcB@ 0

整理可得：

-1+6eyb+6ezhSymbolcB@ 0（6）

即偏心距满足公式（6）时，截面正应力无拉应力。

进一步分析可知，上述不等式所包含的是由-b6，0，-h6，0，b6，0，h6，0四个点所形成的矩形区域。只要荷载作用点在该区域，不论荷载多大，构件均不会发生受拉破坏，即小偏心受压条件;而荷载作用点超出该区域，不论荷载多小，均会产生拉应力，可能发生受拉破坏。

5 小偏心受压强度条件

构件受压时还要考虑构件的受压破坏，结合公式（3）和（5），可得荷载作用点对应象限顶点处的正应力为：

σ=-σN-σM

=-FA±FenIm

=-FA-Feyb2IZ-Fezh2IY

=-FA-6FeybAb2-6FezhAh2

SymbolcB@ σ（许用压应力）可得：

SymbolcB@ Aσ

整理可得，构件的许用荷载为：

F=Aσ1+6eyb+6ezh=FN1+6eyb+6ezh（7）

式中，FN为构件许用轴心压力。

由公式（7）可知，随着偏心距坐标分量的增加，构件的许用荷载逐渐减小。结合公式（6）小偏心受压区域，许用荷载的最小值为区域边界处取得：

Fmin=FN2（8）

即在小偏心受压边界处，构件的许用荷载为许用轴心压力的一半。

6 小结

本文从矩形截面构件偏心受压问题入手，系统研究了脆性材料偏心受压构件正常工作所需要的条件：（1）小偏心受压。（2）许用荷载计算，对工程生活具有一定的参考意义。

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项目：本文为宁夏回族自治区教育厅高校科研项目（NGY2016233）项目研究成果