考虑水平摩阻效应的交通荷载下路面沉降分析
2019-11-22张玲欧强赵明华
张玲 欧强 赵明华
摘 要：为分析计算高速公路水泥混凝土路面承载结构在交通荷载作用下的沉降，将路面结构视为黏弹性地基梁.在Kelvin地基梁模型的基础上，考虑路面结构与路基土界面摩阻效应的影响，进而分析交通荷载下黏弹性地基有限长梁的瞬态问题，通过三角级数展开法和Laplace-Fourier积分变换以及逆变换得到黏弹性地基梁在半正弦波荷载作用下的位移解析解.并研究分析了路基路面摩阻效应、荷载移动速度、路面结构刚度、路基竖向反力系数、路基阻尼等因素对路面沉降的影响.分析结果表明：路面沉降随车辆移动速度的增大而减小，随路基黏滞阻力系数及路基刚度的增大而减小，随路面结构刚度及结构层高度的增大而减小，与此同时增大路面结构刚度还可减小路面的波动.
关键词：交通荷载;水平摩阻效应;积分变换;Kelvin模型;地基梁
中图分类号：TU433 文献标志码：A
文章编号：1674—2974（2019）09—0115—08
Abstract：To analyze the settlement of bearing structure of the cement concrete pavement of highway under traffic loads， pavement structure was regarded as a viscoelastic foundation beam. The interfacial friction effect between the foundation beam and soil below was introduced into the Kelvin foundation beam model. Based on the Kelvin model and taking the interfacial friction forces into consideration， an analytical solution of settlement for the viscoelastic foundation beam under traffic load was proposed by using trigonometric series， Laplace - Fourier transform and inverse transformation. Influence parameter study was presented to quantify the effects of various factors， such as the interfacial friction of subgrade and pavement， velocity of moving load， pavement structure stiffness， the coefficient of vertical soil reaction and viscous damping of subgrade. The results show that the settlement of pavement increases with the decrease of moving load speed，deformation decreases with the increase of viscous damping or subgrade stiffness， and deformation decreases with the increase of pavement stiffness or height of pavement structure. Meanwhile， the wave phenomenon of pavement decreases with the increase of the pavement structure stiffness.
Key words：traffic load;horizontal frictional behavior;integral transforms;Kelvin model;foundation beam
随着我国高速公路建设的迅猛发展，交通荷载下高速公路路面结构的动力响应问题日趋突出. 目前，路面结构动力响应分析常用的方法是将结构层视为置于（黏）弹性地基上的梁（板），采用弹性地基梁（板）理论进行分析. 因此，准确合理地计算分析交通荷载下弹性地基梁受力变形对高速公路路面结构的设计具有重要的工程意义. 为此，国内外诸多学者对地基梁（板）的动力响应进行了深入研究与探讨[1-2]，如Kenny[3]研究得到了移动集中荷载作用下不同地基阻尼的弹性地基无限长梁的稳态响应解析解;Fryba等[4-7]进行了移动荷载作用下梁动力问题的系统研究，引入了Robust可靠性理论分析无限长梁的动态响应;Sun[8]利用留数定理求得了黏弹性地基上梁挠度的一维无穷积分的完备解;Kim[9]利用二维Fourier积分变换求解了弹性地基上简谐荷载作用下无限长梁的动力方程;Dimitrovova[10]研究了有限长梁在均匀移动荷载作用下的临界速度的解析解;黄晓明等[11]用Hankel-laplace变换方法获得了任意轴对稱荷载作用下不考虑地基黏性的弹性地基无限大板的挠度解;孙璐等[12]研究了移动线源荷载作用下弹性地基上无限长梁的动态响应问题;郑小平等[13]采用积分变换法求得了弹性地基上无限长梁动力问题的一般解;张选兵等[14]利用积分变换法求解了移动荷载下Kelvin地基上的无限长梁的动力响应;蒋建群等[15]研究了黏弹性无限大板的稳态响应;颜可珍等[16-17]对弹性和黏弹性地基梁进行了对比分析，并得到了黏弹性双参数地基上矩形板在受到运动常值荷载和运动谐和荷载作用下的解析解，并对运动荷载下Vlazov地基梁进行了研究.
上述研究大都基于Winkler地基模型或Kelvin模型，即只考虑地基竖向反力影响而忽略了梁与地基界面摩阻效应影响.但是，当地基比较坚硬且地基与梁的接触较为粗糙时，地基与梁之间的摩阻效应明显是存在的.已有一些学者对传统地基梁理论进行修正，在其变形和内力的计算中考虑该摩阻效应的影响[18-20]，但仅针对静止荷载作用下地基梁的受力变形分析，未考虑动力效应的影响.
为此，本文拟对传统的Kelvin地基梁模型进行改进，考虑梁土界面水平摩阻效应的影响，对黏弹性地基梁有限长梁的瞬态问题进行求解，并探讨分析梁的物理参数、荷载移动速度、地基阻尼及模量等对地基梁变形的影响，以期为路面结构层的设计提供参考.
1 计算模型及基本方程的建立
沿行车方向取单位宽度水泥混凝土路面结构板进行分析，并将其视为如图1所示地基梁：长2l、宽b = 1.0 m、高h，其上作用交通荷载P（x，t），梁下路基土视为黏弹性元件，即采用Kelvin模型模拟.
车辆在路面行驶时，路面所受到的动载可用冲击荷载来模拟[22]，本文以半正弦波荷载曲线加载在地基梁上[23]，将冲击荷载P（x，t）沿x方向展开为正弦级数，即：
3 算例及参数分析
为验证本文结果的合理性，根据前文推导的结果，利用数值计算工具Matlab进行编程分析计算文献[25]中的工程案例，为便于比较，计算参数同文献[25]，长度取20 m，地基梁抗弯刚度EI = 1.35×105 kN ·m2，单位长度的质量m = 375 kg/m，地基弹簧刚度k = 68.9 MPa，动荷载的幅值P = 50 kN，黏滞阻力系数c = 0.32 MPa/m，荷载移动速度v = 30 m/s.
由于文献[25]未考虑水平摩阻效应，此处为了便于比较，令η = 0.本文方法计算t = T/2 s时刻，其中T为荷载作用周期，T/2 s为荷载幅值最大的时刻，沿荷载运动方向（座标原点取在x= 0处）±10 m范围内，即x∈[-10，10]不同点的路面沉降结果，其结果与文献[25]的比较如图3 （a）所示.由图3（a）可见，本文的计算结果与文献[25]的结果非常接近，计算所得的路面结构层的沉降值在数值上与文献[25]的结果基本一致.图3（b）为x=0点处挠度随时间变化的过程，由图亦可见，本文的计算结果与文献[25]的结果吻合良好，由此可知本文方法的合理性.
3.1 水平摩阻效应对路面沉降的影响
为进一步研究路面结构层与路基接触面摩阻效应对路面沉降的影响，将路面结构层视为黏弹性地基梁，地基与梁的计算参数取P=100 kN，c=0.2 MPa/m，v=30 m/s，其余参数同算例，t= T/2 s时刻，沿荷载运动方向（座标原点取在x= 0处）±10 m范围内不同点的路面沉降计算结果.
由图4可知，移动荷载下，路面结构与路基界面水平摩阻效应对路面沉降有较大影响.当摩擦系数η=0.1时，路面最大沉降值wmax为0.375 7 mm，比不考虑水平摩阻效应时（wmax=0.510 7 mm）减小了26.43%;η=0.3时，路面最大沉降值wmax为0.213 4 mm，比不考虑水平摩阻效应时减小了63.44%;当η = 0.5时，wmax减小了79.29%.即摩擦系数η取值越大，路基路面接触越粗糙，该界面摩阻效应对路面沉降的减小作用就越明显，但减小的幅度随摩擦系数增大而减缓.此外，由图4亦可见，若考虑水平摩阻效应，即η≠0时，路面沉降计算曲线出现局部波动，其主要原因可能是由于本文理论分析时未考虑地基土不能抗拉的情况，即当梁和地基脱空以后，实际的竖向地基反力qz应为零.而本文计算理论未考虑这一影响，当梁和地基脱空时，计算水平切应力仍是取地基反力（此时qz表现为拉力）乘以摩阻系数，导致水平切应力的突变，使路面结构在动荷载下受到了拉弯和压弯的交变应力作用，以致出现波动.
图5为不同摩擦系数时，x= 0处的路面沉降值w0随时间t的变化情况. 由图5可见，基于本文方法在一个荷载周期T内，w0随时间t的增加而呈现正弦函数的增大趋势，且摩擦系数越大，增加的幅度反而越小. 若不考虑水平摩阻效应影响，即η= 0，当t从0.02 s增加到0.06 s时，w0从0.038 4 mm增至0.314 9 mm，增加的幅度为6.913 mm/s;若取η=0.3，相同條件下（t从0.02 s到0.06 s），w0增幅为2.93 mm/s;若取η=0.5，则w0增幅为1.435 mm/s.
3.2 荷载移动速度对路面沉降的影响
图6为车辆荷载移动速度对路面沉降的影响.考虑到我国高速公路速度范围为60～120 km/h，故取荷载移动速度v的变化范围为16 ～32 m/s.计算时η = 0.3，t = T/2 s，其他参数同上. 如图6所示，幅值一定的动荷载作用下，路面沉降关于荷载作用点呈对称分布;而且交通荷载的移动速度对路面沉降有较大影响，荷载移动速度越大，路面沉降越小，换言之，轴载相同的情况下，车辆行驶速度越低，对路面结构的影响越大，这与文献[23]的研究结果一致. 图6中，当荷载移动速度v从16 m/s增大到24 m/s时，路面最大沉降值wmax从0.252 9 mm减至0.169 5 mm，减小了32.97%;当v继续增大到32 m/s，路面沉降持续减小（较v=16 m/s时，减幅达49.31%）.
图7为不同路面结构层厚度时路面最大沉降值wmax随交通荷载移动速度v的变化情况.由图7可见，路面最大沉降值wmax随荷载移动速度v的增大而减小，当v<28 m/s时，wmax随v的增大急剧减小;当v>28 m/s以后，wmax随v的增大缓慢减小，即当v>28 m/s以后荷载移动速度对路面沉降的影响显著减小.此外，结构层厚度h对wmax也有影响，相同荷载移动速度时，h越大，路面沉降越小，这种减小的趋势随v的增大而减小.
3.3 黏性阻尼對路面沉降的影响
图8表示h=0.26 m、v=28 m/s、η=0.3时不同黏滞阻力系数c下路面沉降情况.由图可见，随着黏滞阻力系数的增大，路面沉降逐渐减小，而且其减小作用逐渐减弱.
3.4 单元弹簧刚度的影响
图9为不同竖向地基反力系数下路面沉降情况. 由图9可见，路面沉降随路基的竖向地基反力系数的增大而逐渐减小，而且减小的幅度逐渐变缓.计算时η = 0.3，当单元弹簧刚度k从10 MN/m2增大到50 MN/m2，路面最大沉降值wmax从0.256 4 mm减至0.111 8 mm，减小了56.40%，当k进一步增大到100 MN/m2时，wmax减至0.071 07 mm，较k =10 MN/m2时减少了72.28%，但较k=50 MN/m2时只减少了13.84%.显然，竖向地基反力系数愈大，则单元弹簧刚度，也即路基刚度愈大，路基对路面结构可提供的竖向反力愈大，根据本文模型，地基梁愈不易发生挠曲变形. 因此，适当增大路基刚度可有效地减小路面沉降.但当路基刚度增大到一定程度以后，其对路面结构变形的减小作用变缓，故工程设计中不能盲目地通过无限制增加路基刚度来减小路面沉降.
3.5 路面抗弯刚度对路面沉降的影响
其他参数保持不变，改变路面结构层抗弯刚度EI，变化范围0.055～20 GPa，路面沉降值计算结果如图10所示. 由图可知，结构层刚度对路面沉降有较大影响，且路面最大沉降值随路面结构抗弯刚度的增大而减小. 当EI<5 GPa时，在荷载作用点附近有较大的竖向位移，在距荷载作用点4 m以外均出现了较小的反向位移，即出现了路面结构和路基局部脱空的现象，而且当EI<0.055 GPa时路面开始出现不稳定的波动变形;当EI>5 GPa时，路面变形为荷载作用方向的单一方向变形，不再有反向变形的出现;呈现中间大两边小的常规变形趋势，且在数值上均有较大幅度的改善，但当EI>10 GPa以后，继续增大路面结构抗弯刚度对路面沉降的减小作用趋于平衡.
4 结 论
运用Laplace-Fourier变换以及其逆变换和正弦级数展开法对常速移动点荷载作用下黏弹性地基有限长梁进行了分析，求得了梁的动力响应的解析解.采用本文的解析解研究分析了梁土界面摩阻效应、荷载移动速度、地基阻尼及路面抗弯刚度等各因素对交通荷载作用下路面沉降的影响，分析结果表明：
1）交通荷载作用下，取接触面摩擦系数η = 0.3，考虑水平摩阻力路面沉降较不考虑水平摩阻力的结果减小了50%左右.
2）荷载的移动速度对路面结构的沉降有较大
影响，移动速度越小，路面沉降越大，因而在路面设计时必须适当考虑车辆荷载的速度影响.
3）路基土黏滞性阻尼及其刚度对路面沉降也
有较为明显的影响，路面最大沉降量随地基土的黏性阻尼及刚度的增大而逐渐减小，但减小的幅度逐渐放缓.因此，增大路基土黏滞性或提高其地基刚度都能有效地减小车辆荷载下路面的沉降，延长路面的使用寿命.
4）路面结构层的抗弯刚度对路面沉降的影响
较结构层厚度显著，适当增大路面结构层的厚度可减小路面沉降，增大路面结构抗弯刚度可明显减少路面沉降，与此同时还可减小路面的波动.故在路面结构设计时需综合考虑，选取最优路面结构层厚度和路面结构刚度.
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