高能电子-质子碰撞中重夸克偶素的遍举产生

王 晨，陈自强，乔从丰

(中国科学院大学物理科学学院， 北京 100049)(2018年5月5日收稿； 2018年6月1日收修改稿)

电子-质子散射几十年来一直是主要的一类高能物理实验，尤其对研究核子结构做出了非常重要的贡献。夸克偶素物理是高能物理研究中的一个重要方向。一来通过研究夸克偶素可以了解重强子的性质，另一方面，由于夸克偶素处于微扰QCD 适用能标范围以内，对夸克偶素的研究也是了解认识量子色动力学的重要途径。特别是1995 年非相对论量子色动力学NRQCD 出现之后[1]，夸克偶素物理研究有了更坚实的理论基础，引发了持续20多年的研究热潮。人们计算分析夸克偶素在各种高能实验中的产生过程，研究其衰变性质[2]。

从1974年粲夸克发现以来，夸克偶素遍举产生过程就成为高能物理理论和实验研究的热点课题。它为探究质子内部结构，检验NRQCD 因子化，进一步了解微扰QCD 提供了很好的研究平台。在实验方面，对电子-质子散射过程中夸克偶素的产生已经做了很多观测，包括夸克偶素遍举产生过程γ*p→Vp。其中V代表重夸克偶素。如γ*为实光子，则成为光生(photoproduction) 过程；如为虚光子，则对应电生(electroproduction)过程。人们已在各类对撞机上对这些过程进行观察，积累了大量数据，包括铁核固定靶实验中J/ψ遍举光生 过程[3-4]，HERA上J/ψ的遍举光产生[5-9]，HERA上J/ψ的遍举电产生[10-13]， HERA上Υ 的遍举光产生[5-6]，LHC上J/ψ的遍举光产生[14-15]，LHC上Υ的遍举光产生[16]等。理论方面，随着有关夸克偶素产生和衰败理论的发展、对核子结构认识的深化、计算能力的提高，在这个领域也取得了丰富的研究成果。

夸克偶素遍举产生过程涉及3个不同的能标：1)光子和质子中部分子相互作用产生正反重夸克对。这属于硬过程，可以用微扰QCD 计算。2) 正反重夸克对演化到夸克偶素。这个强子化过程包含非微扰效应，可用NRQCD[1]因子化方案来处理。3)质子和参与到硬过程的部分子间的相互作用。这也属非微扰效应，目前主要采取kT因子化和共线因子化两种办法处理。

在早期的理论研究中，人们通常采用kT因子化方案进行计算，主要针对高能极限情况(小x区域)(矢量)夸克偶素衍射产生展开研究。通常通过BFKL[17-18]重整化群方程对大log(1/x) 进行求和。对衍射过程，由于对撞能量远大于其他标度，通常只需考虑振幅虚部的贡献。 对于核子部分，则通过引入kT依赖的“积分前”(unintegrated) 胶子分布函数考虑非微软效应，这样最后得到的振幅将正比于普通的胶子分布函数。第一个γ*p→Vp过程是Ryskin[19]完成的。后来，很多研究人员在此基础上不断地完善，考虑胶子分布函数斜度的影响、大kT部分的贡献、相对论修正、实部对截面的贡献等[20-28]。kT因子化的方法虽然有着坚实的理论基础，但也存在较大的理论不确定性，并且在kT因子化下次领头阶计算非常复杂。

另一方面，人们注意到，当质子的入射动量和出射动量不相等(nonforward) 时，对应的部分子分布函数和通常意义上的部分子分布函数不同。可以称之为“广义部分子分布函数”(GPDs)。随着Ji 和Radyushkin 对“深虚康普顿散射”(DVCS) 过程[29-31]和矢量介子遍举产生过程[32]的研究，GPDs逐渐成为研究的热点。共线因子化方案下对GPDs 普适性的严格证明由Collins 等完成[33]。 在共线因子化框架下，对重矢夸克偶素光生过程的研究已经做到了微扰次领头阶[34-37]。 对于电生过程，即初态光子虚度不为零的情况，实验上已有大量观察[10-13]，但理论计算和唯象分析却很有限。本文拟在共线因子化框架下，计算γ*p→Vp过程，唯象分析HERA 上J/ψ和Υ 遍举产生截面大小随光子虚度Q2及光子-核子能量Wγp变化的关系，并与相应实验结果进行比对。

1 计算框架

矢量夸克偶素遍举产生过程的领头阶共有6个费曼图。其中3个如图1所示，另外3个可在图1基础上由费米子线反向得到。将初末态粒子动量标记为γ*(q)p(P)→V(q′)p(P′)。为方便计算和说明，引入“转移动量”和初末态粒子的“平均动量”：

(1)

初末态粒子的质量和运动学不变量标记为：

s=(q+P)2,t=Δ2.

(2)

(3)

这里新引入2个标度参量ξ和η:

(4)

对于夸克偶素产生过程中的长程效应，采用NRQCD 因子化来处理。在计算中需要用到正反重夸克对到相应夸克偶素Fock 态的投影[38]。对于S波自旋三重态，在忽略重夸克间的相对动量，即在非相对论近似领头阶时，投影算符可表示为

(5)

式中：i,j表示颜色指标；Rs(0)为夸克偶素径向零点波函数。它的取值既可以由势模型计算，也可以通过将夸克偶素衰变到轻子对过程的理论结果与实验测量相比较得到。

对应我们要计算的过程，显然地，在领头阶参与相互作用的部分子为胶子。核子内胶子的密度分布可以表示为双胶子场对应的光锥矩阵元。选取光锥规范时可以忽略表达式中的P{}(path-ordering)项，即

(6)

图1 夸克偶素遍举产生过程领头阶费曼图Fig.1 Feynman diagrams for quarkonium exclusive production at LO

2 解析结果

(7)

(8)

注意，Hg(x,η,t)和Eg(x,η,t) 是x的偶函数。在向前(forward) 极限下Hg(x,η,t)可以过渡到普通的部分子分布函数：Hg(x,0,0)=xg(x)。对于Eg(x,η,t)则没有类似性质。

根据式(7)，可以计算出Δ⊥=0处的微分截面，即

(9)

式(9)第3行中的两项分别表示横向极化光子和纵向极化光子对微分截面的贡献。参数是虚光子的极化参数。 在电子-核子散射中，它可以表示成的函数，即：在大部分夸克偶素遍举产生实验中，的值非常接近1。

(10)

参数b称为“斜率”(slope) 参数。在坡密子(Pomeron) 理论中，b(W)=b0+4α′ln(W/W0)。式(10)中各参数可以通过对实验数据的拟合得到。

3 数值结果

在截面的数值计算中，还需要对GPDs 进行数值估计。对于Hg(x,η,t)，依据“双分布”(double distributions) 模型[42-44]进行数值模拟。具体计算方法可参照文献[44]的第2部分。图2展示不同η和μ2下，g的实部和虚部之比。可以发现，随着η和μ2的减小，虚部贡献所占的比例逐渐增大。这和高能极限下(衍射过程)，振幅虚部对截面贡献占主导的结论是一致的。但在我们的唯象学分析中，因此实部的贡献会随着光子虚度的增大(偏离衍射)而增大。 对于Eg(x,η,t)，目前尚无很好的模型可用于唯象学计算。 但根据式(9)，εg项有系数η2压低。因此，我们将这部分贡献忽略。 这也是对DVCS 和重夸克偶素遍举产生过程做唯象学研究时普遍采取的做法。

图2 不同η和μ2下，g的实部和虚部之比Fig.2 Ratio of Re(g) to Im(g) at different ηandμ2values

下面分析J/ψ在HERA 上的产生。斜率参量b及t取H1 实验组所取的实验参数[13]。 图3展示J/ψ遍举产生截面对Q2及Wγp的依赖关系。其中，误差棒表示H1 实验组的实验结果[13]；不同形状的实心点表示我们的计算结果及理论不确定性。圆点组成的上边界对应的参数选取为：r=2.0,mc=1.4 GeV； 处于中间的方形点对应：r=1.0,mc=1.5 GeV；三角形点组成的下边界对应：r=0.5,mc=1.6 GeV。图4(a)～4(d) 分别对应Wγp=90 GeV，Q2=3.2 GeV2，Q2=7.0 GeV2和Q2=22.4 GeV2。可以看出，计算结果较实验数据普遍偏大，尤其是当Wγp较大或Q2较小时。在同样情况下，能标和质量引起的不确定度也相当大。究其原因，可以用小x区域胶子部分子分布函数随能标的增大而迅速增大来解释。

图3 HERA上J/ψ遍举产生唯象学分析Fig.3 The cross section for J/ψexclusive production at HERA

图4 HERA上Υ遍举产生唯象学分析Fig.4 The cross section for Υ exclusive production at HERA

4 总结

本文在共线因子化的框架下，计算微扰量子色动力学领头阶下重夸克偶素在电子-质子散射过程中的遍举产生过程，给出相应振幅和截面的解析表达式。还唯象分析HERA 实验中J/ψ和Υ 遍举产生截面对光子虚度Q2和撞能量Wγp的依赖关系，并与实验结果进行比较。发现对于J/ψ遍举产生，理论计算值明显大于实验测量值，特别是在小x区域。对于Υ遍举光产生，在考虑实验和理论误差的情况下，可以解释实验。通过取不同的重夸克质量和不同的因子化能标，估计理论不确定性。发现在小x区域，能标引起的不确定性非常大。这一方面说明在小x区域，胶子分布函数本身有很大的不确定度，另一方面说明在这些过程中，高阶修正的贡献非常大，未来有必要进一步研究。

最后需要特别指出的是，对夸克偶素在电子-质子碰撞中遍举产生的研究，非常有益于了解推广的部分子分布函数(GPD)。