MIMO雷达二维低复杂度MUSIC测向算法

袁晓垒，王鹏飞，郭玉霞

(1.中国空空导弹研究院，河南 洛阳 471009；2.航空制导武器航空科技重点实验室，河南 洛阳 471009)

0 引 言

多输入多输出雷达(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO),作为一种新体制雷达，近年来引起国内外学者的广泛关注和研究。与相控阵一发多收模式不同，MIMO雷达通过各天线单元发射彼此正交的信号波形，接收天线采用相应的匹配滤波可将各发射阵元发射的叠加在一起的接收信号进行有效分离，将发射阵列孔径和接收阵列孔径有效地综合在一起，形成大的虚拟阵列孔径，提高雷达系统的角度分辨力，实现对目标方位进行快速、高精度的估计，具有抗干扰、低截获的能力。

MIMO雷达的空间目标角度估计是国内外众多专家的研究热点，提出了一系列高分辨估计算法，如最大似然估计方法[1-2]、ESPRIT算法[3-5]、Capon算法[6-7]、MUSIC算法[8-10]。这些算法分别针对不同的应用场景，可获得较好的角度估计性能，但这些算法往往是针对均匀线阵而提出的。为同时获得目标方位角和俯仰角的空间角度信息，弹载平台一般采用二维平面阵列。虽然这些算法可以经过一定的扩展将其应用在二维阵列上，但天线阵元个数的增多导致阵列接收数据的协方差矩阵维度有较大的提高，而高分辨估计算法往往需要对协方差矩阵进行特征值分解或求逆运算，导致算法计算复杂度急剧提高。

单基地MIMO雷达收发天线共址特性导致其收发联合导向矢量中出现若干相同元素，即存在一定的信息冗余，本文通过构造交换矩阵和降维矩阵，对阵列接收数据进行降维处理，可大大降低阵列接收数据协方差矩阵的维度，减少MIMO雷达二维MUSIC算法的计算复杂度。

1 数据模型

构建弹载平台天线阵面及其空间坐标系，如图1所示。弹载平台天线阵面是一个布置在OXYZ坐标系中XOY平面的矩形阵，其示意图如图1(a)所示，天线阵元位于XOY平面上，其阵列中心位于坐标轴原点。设辐射方向为Z轴的正方向(弹轴指向)，即前半球方向。弹载平台天线阵面用的坐标系空间角定义如图1(b)所示，坐标系用两个角度值(方位角和俯仰角)来表示三维空间中的点，分别记为θ和φ。方位角θ定义为R点在XOY平面上投影线与X轴正方向之间的夹角，俯仰角φ定义为原点到R点的矢量OR与Z轴正方向之间的夹角。

图1 二维面阵布阵及天线坐标示意图Fig.1 Diagrammatic sketch of 2-D array and antenna coordinate

图1 (a)中，X轴方向的阵元间距记为dx，阵元个数为M；Y轴方向的阵元间距记为dy，阵元个数为N，则平面阵列的阵元总数为MN，阵列中第mn个阵元的位置坐标记为

(1)

考虑单基地MIMO雷达收发阵列采用如图1(a)所示的M×N平面矩形阵，阵元间距均为信号波长的一半，即dx=dy=λ/2。发射阵列发射K个具有带宽B和相同中心频率f0的正交波形，第k个信号的俯仰角和方位角为(θk,φk)，则经匹配滤波后阵列输出第l个快拍时的信号x(l)∈C(MN)2×1为

x(l)=As(l)+v(l)l=1,2,…,L

(2)

(3)

假设at(θk,φk)和ar(θk,φk)在L个快拍内保持不变，则阵列输出信号的协方差矩阵R∈C(MN)2×(MN)2为

R=E{x(l)xH(l)}

(4)

在实际应用中，不可能得到无穷多的数据快拍来充分估计协方差矩阵，常常用有限的数据样本对其进行估计，表达式为

(5)

2 基本MIMO二维MUSIC算法

首先对协方差矩阵R进行特征值分解：

(6)

式中：U∈C(MN)2×(MN)2为协方差矩阵的特征矢量；Λ=diag{λ1,…,λ(MN)2}∈C(MN)2×(MN)2为由协方差矩阵特征值λ1,…,λ(MN)2构成的对角阵；Λs=diag{λ1,…,λK}∈CK×K为由前K个大特征值构成的对角阵；Us为由前K个大特征值对应的特征矢量构成的信号子空间矩阵；Λv为由剩余的(MN)2-K个特征值构成的对角阵；Uv为由剩余的(MN)2-K个特征值对应的特征矢量构成的噪声子空间矩阵。

其次，构造MUSIC空间谱函数为

(7)

分别在方位角搜索范围θ∈[-180°,180°]和俯仰角搜索范围φ∈[0°,90°]进行谱峰搜索，将P(θ,φ)的最大峰值作为目标的角度估计值。

由文献[10]分析指出，上述基本MUSIC算法的计算复杂度为O((MN)4L+(MN)6+Q((MN)2((MN)2-K)+(MN)2-K))。其中，Q为角度搜索总次数，可看出其计算复杂度很高，不利于工程实时性实现。

3 低复杂度MIMO二维MUSIC算法

单基地雷达收发阵列采用相同的天线阵，造成了一些阵元自由度的冗余。通过构造交换矩阵和降维矩阵得到一种低复杂度MIMO二维MUSIC算法。

根据阵列信号处理理论和矢量间Kronecker积特性[11]可知，两个具有范德蒙德结构的矢量之间进行Kronecker积运算会出现如下特性 (以三元素矢量为例)：

a=[1,exp(-jΩ),exp(-j2Ω)]T∈C3×1

(8)

由b∈C9×1的表达式可明显发现，b中的元素只有5个是互不相同的(即1，exp(-jΩ)，exp(-j2Ω)，exp(-j3Ω)，exp(-j4Ω))，而其他4个元素(即exp(-jΩ)，exp(-j2Ω)，exp(-j2Ω)，exp(-j3Ω))分别是这5个元素其中之一，因此矢量a的Kronecker积b包含9个元素，但仅5个有效自由度，即有4个自由度冗余。

3.1 构造交换矩阵

基于上述结论，观察单基地MIMO雷达收发联合导向矢量表达式，即

a(θk,φk)=at(θk,φk)⊗ar(θk,φk)=

aty(θk,φk)⊗atx(θk,φk)⊗ar(θk,φk)

(9)

可发现，若存在交换矩阵G∈R(MN)2×(MN)2，R为实数集，将X轴一维线阵导向矢量atx(θk,φk)与阵面接收导向矢量ar(θk,φk)进行位置交换，即可得到如下表达式：

aG(θk,φk)=Ga(θk,φk)=aty(θk,φk)⊗ar(θk,φk)⊗atx(θk,φk)=(aty(θk,φk)⊗ary(θk,φk))⊗

(arx(θk,φk)⊗atx(θk,φk))

(10)

可将X轴一维线阵发射和接收导向矢量联系在一起，Y轴一维线阵发射和接收导向矢量联系在一起。由矩阵理论[11]可计算得到交换矩阵G∈R(MN)2×(MN)2的表达式为

G=(IN⊗P)

(11)

其中:m=1,2,…,MN;n=1,2,…,M;矩阵P∈RM×M2N为行置换矩阵，满足PPH=IM2N。经过交换处理的阵列接收数据可表示为

xG(l)=Gx(l)=AGs(l)+vG(l)

(12)

式中：vG(l)=Gv(l)；AG=[aG(θ1,φ1),…,aG(θk,φk)]。

3.2 构造降维矩阵

通过对式(8)分析可知，X轴一维线阵发射-接收联合导向矢量arx(θk,φk)⊗atx(θk,φk)，Y轴一维线阵发射-接收联合导向矢量aty(θk,φk)⊗ary(θk,φk)存在自由度冗余，可构造降维矩阵对其进行有效去除来降低阵列处理的自由度。

若存在降维矩阵H(N,N)∈RN2×(2N-1),H(M,M)∈RM2×(2M-1)，将交换处理后的联合导向矢量aG(θk,φk)进行降维处理，即可得到如下表达式：

aG(θ,φ)=(aty(θk,φk)⊗ary(θk,φk))⊗

(arx(θk,φk)⊗atx(θk,φk))=

H(N,N)⊗H(M,M)b(θk,φk)

(13)

式中:b(θ,φ)为降维后的发射-接收联合导向矢量，其表达式为

b(θ,φ)=by(θ,φ)⊗bx(θ,φ)∈C((2N-1)(2M-1))×1

(14)

其中:by(θ,φ)∈C(2N-1)×1为降维处理后Y轴一维线阵发射-接收联合导向矢量；bx(θ,φ)∈C(2M-1)×1为降维处理后X轴一维线阵发射-接收联合导向矢量。

由文献[11]中矩阵理论可计算得到降维矩阵H(N,N)∈RN2×(2N-1)的表达式为

(15)

式中:IN为维度为N×N的单位阵；0N×m为维度为N×m的全零矩阵。

由交换矩阵H(N,N)∈RN2×(2N-1),H(M,M)∈RM2×(2M-1)内部元素特性及Kronecker积的性质，可构造如下的对角阵:

Z∈R((2N-1)(2M-1))×((2N-1)(2M-1))

Z=(HT(N,N)H(N,N))⊗

(HT(M,M)H(M,M))=

(HT(N,N)⊗HT(M,M))·

(H(N,N)⊗H(M,M))

(16)

同时，为了保证降维处理不会对噪声能量进行增强，特构造归一化降维矩阵:

QZ=Z-1/2·(HT(N,N)⊗HT(M,M))

(17)

对交换处理的阵列接收数据xG(l)进行降维处理可得

y(l)=QZxG(l)=Z-1/2·(HT(N,N)⊗

HT(M,M))AGs(l)+QZvG(l)=

Z1/2Bs(l)+QZvG(l)

(18)

式中:B=[b(θ1,φ1),…,b(θk,φk)]；QZvG(l)为降维处理后的噪声矢量，且其协方差表达式为

RZG=E{QZvG(l)(QZvG(l))H}=

(HT(N,N)⊗HT(M,M))HZ-1/2)=

(19)

降维后阵列接收数据的协方差矩阵Ry∈C((2M-1)(2N-1))×((2M-1)(2N-1))计算公式为

Ry=E{y(l)yH(l)}=

Z1/2BE{s(l)sH(l)}BHZ1/2+RZG=

(20)

显然，通过行置换和降维处理，将原(MN)2×(MN)2维度的协方差矩阵R转变为((2M-1)(2N-1))×((2M-1)(2N-1))维度的协方差矩阵Ry，大大降低了计算复杂度。

对协方差矩阵进行特征值分解:

(21)

式中:Uy∈C((2M-1)(2N-1))×((2M-1)(2N-1))为协方差矩阵的特征矢量；Λy=diag{λ1,…,λ((2M-1)(2N-1))2}为由协方差矩阵特征值λ1,…,λ((2M-1)(2N-1))2构成的对角阵；Λys=diag{λ1,…,λK}∈CK×K为由前K个大特征值构成的对角阵;Uys为由前K个大特征值对应的特征矢量构成的信号子空间矩阵；Λyv为由剩余的((2M-1)(2N-1))2-K个特征值构成的对角阵；Uyv为剩余特征值对应的特征矢量构成的噪声子空间矩阵。

其次，构造MUSIC空间谱函数为

(22)

分别在方位角搜索范围θ∈[-180°,180°]和俯仰角搜索范围φ∈[0°,90°]上进行谱峰搜索，将P(θ,φ)的最大峰值作为目标的角度估计值。

在实际应用中，不可能得到无穷多的数据快拍来充分估计协方差矩阵，常常用有限的数据样本来对其进行估计，其表达式为

(23)

综上所述，低复杂度MIMO二维MUSIC算法的实现步骤如下：

(1)构造交换矩阵G，对接收数据x(l)进行行置换，即xG(l)=Gx(l)；

(2)构造归一化降维矩阵QZ，对置换后接收数据xG(l)进行降维变换，即y(l)=QZxG(l)；

(5)构造MUSIC空间谱函数P(θ,φ)，进行空间谱峰搜索来估计角度。

上述低复杂度MUSIC算法的计算复杂度为O(((2M-1)(2N-1))2L+((2M-1)(2N-1))3+

Q((2M-1)(2N-1)((2M-1)(2N-1)-K)+(2M-1)(2N-1)-K))。其中，Q为总共的角度搜索次数，相对传统MUSIC算法，其计算复杂度已经大大降低。

本文通过构造交换矩阵和降维矩阵，将原发射-接收联合导向矢量a(θk,φk)∈C(MN)2×1降维为新收发联合导向矢量b(θ,φ)∈C((2N-1)(2M-1))×1，这种降维处理过程保留了a(θk,φk)中的有效信息，即(2N-1)(2M-1)个互不相同的元素，目标角度信息就包含在这些元素中，摒弃了其他(MN)2-(2N-1)(2M-1)个冗余元素。该处理过程并未损失信息，不会造成性能损失。

4 仿真实验

采用Monte Carlo实验来衡量算法的角度估计性能。定义求根均方误差(Root Mean Square Error,RMSE)为

(24)

首先对比两种MUSIC算法的计算复杂度，主要包括两种算法运行时间随天线阵元数的变化，如图2所示。计算机平台配置：CPU-Intel(R)Core(TM)i7-3770，最高频率3.39 GHz，物理内存4 GHz，32位Windows XP Professional Service Pack3操作系统。可明显看出，本文所提低复杂度MUSIC算法大大降低了计算复杂度，尤其当阵元数较大时。

图2 两种算法不同阵元数下运行时间对比Fig.2 Comparison of running time of two algorithms under different array elements

分别给定阵列接收数据快拍数和输入SNR，对比基本MUSIC算法与所提算法的角度估计RMSE的变化如图4所示。从图4中可明显看出，所提低复杂度MUSIC算法的角度估计性能与基本MUSIC算法的相近，甚至在低SNR和低快拍数情况下能获得更低的RMSE。

图3 所提算法得到的角度空间谱Fig.3 The angular space spectrum obtained by the proposed algorithm

图4 两种算法的角度估计性能RMSE对比Fig.4 Performance comparison of two algorithms for angle estimation

根据经典阵列信号处理理论可知，阵列接收数据快拍数、信噪比对MUSIC算法性能的影响比较大，尤其当快拍数较小、SNR较低时。若要使MUSIC算法性能损失较小，阵列接收数据快拍数需要大于协方差矩阵某一维度的2倍。显然要实现相同的性能，所提降维算法需要的快拍数要小于基本MUSIC算法。当阵列接收数据快拍数相同时，等效于所提算法的快拍数较多，因此所提降维算法的性能要略优于基本MUSIC算法的性能。而当阵列接收数据快拍数、SNR大到一定数值时，快拍数、SNR对算法性能的影响很小，因此快拍数较大、SNR较高时，所提降维算法的性能与基本MUSIC算法的性能几乎相近。

仿真实验结果充分说明了所提算法的有效性，在降低计算复杂度的同时，又能获得相同甚至更好的角度估计性能。

5 结 论

本文充分利用单基地MIMO雷达发射-接收联合导向矢量间的特定结构关系，通过构造交换矩阵和降维矩阵，大大降低了协方差矩阵的维度，减少MIMO雷达二维MUSIC算法的计算复杂度。通过仿真验证，所提算法不仅具有更低的计算复杂度，同时还具有和原MUSIC算法相近的角度估计性能，甚至在低SNR时能获得更高的估计性能。