多项式数列的连续分解

赵凤鸣

（四川职业技术学院 应用数学与经济系，四川 遂宁 629000）

我们将文[1]第83 页第14 题作为本文的引例，该题如下：

在文[2]中，作者给出的解法如下：

解

故 原式

我们认为，可以对该解法进行优化，给出一个较为一般实用的方法。注意到等差数列

从上面的分析可以看出，研究数列an是否能分解为an= bnbn+1显然具有重要意义，这样的分解我们就称为数列的连续分解。一般，我们给出如下的

定义对于数列an，若存在数列bn，使an= bnbn+1…bn+k-1（k ≥2），则称bnbn+1…bn+k-1是数列an的一个k 阶连续分解。

由于问题的复杂性，我们在这里不做一般的研究，只研究an是n 的次数不超过4 的一些特殊多项式的这种分解，并假设bn也是n 的多项式.显然，若an是一次多项式，则研究an的连续分解没有意义，所以假设an分别为2,3,4 次多项式。对于an为2 次和4 次多项式的情形，显然研究an的2 阶连续分解才有意义，而对于后者的一般性研究显然很困难，这里只研究an为形如( rn + s )4+ t 和rn4+ sn2+ t 的4 次多项式.对于an为3 次多项式的情形，显然研究an的3 阶连续分解才有意义，一般性研究显然很困难，不过也可以对an的某些特殊情况进行研究，但限于篇幅，本文在这里不作研究。

定理1设四次多项式an= ( rn + s )4+ t，r ＞0，若存在多项式bn，使an= bnbn+1成立，则r4= 4t，并且若假设bn的首项系数大于0，则

反之，若r4= 4t，则（1）满足an= bnbn+1.

证明：若存在多项式bn使an= bnbn+1成立，因bn和bn+1是同次多项式且首项系数相同，则bn必为二次多项式，设bn= an2+ bn + c，有

因此不妨设a ＞0.上式即为

比较系数得

由（A）前四式解得

将a,b,c 代入（A）的最后一式得r4= 4t，将a,b,c 代入代入bn= an2+ bn + c 得（1）.

在引例中，r = 6，s = -2，t = 324，满足r4= 4t，由定理1 可直接求得bn.由于以下定理2 和定理3 的证明类似于定理1 的证明，故略.

定 理2设 四 次 多 项 式an= rn4+ sn2+ t，若 存 在 多 项 式bn，使an= bnbn+1成 立，则r ＞0，( r + s )2= 4rt，并且若假设bn的首项系数大于0，则

反之，若r ＞0，且( r + s )2= 4rt，则（2）满足an= bnbn+1.

如计算：