沪版新教材项目式教学案例

候继仓　孙波

项目情境分析

本案例选自上海科技教育出版社的教材《信息技术（必修1 数据与计算）》第三单元算法与程序设计之项目七：以计算圆周率为例——设计简单数值数据算法。该项目通过设计简单数值型数据算法解决计算圆周率问题，对程序三种控制结构进行深入探究，并通过比较不同算法的运行时间感受算法效率，引导学生主动对程序或算法进行优化。本项目引导学生利用计算机科学领域的思想方法界定问题，抽象特征，并能设计合理的算法形成解决问题的方案，有效促进计算思维素养的逐步养成。

圆周率π是一个在数学及物理学中常用的数学常数，它是圆的周长与直径的比值，也等于圆的面积与半径平方之比。π是一个无限不循环小数，可以借助计算机编程，利用欧拉公式、沃利斯公式及随机投点法等方法来计算圆周率，并可比较不同算法的效率，有意识地对算法和程序进行优化。

项目活动安排

1.活动1：用沃利斯公式计算圆周率

活动要求：

（1）给出几个简单的累乘或累加公式，如5！=5*4*3*2*1，s1=1+3+5+7+9，s2=1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32，分别讨论它们的通项及累乘或累加变量的初值。

（2）分析沃利斯公式可知，这是一个累乘问题，通过观察找出通项公式，确定累乘变量的初值，确定控制循环的方法。注意：通项公式并不唯一，因此累乘变量初值和循环控制方法也会相应发生改变。

（3）分组讨论，结合循环控制方法，分别用自然语言和流程图描述沃利斯公式求解π的算法。

（4）根据小组讨论确定的算法，使用for循环或while循环编写Python程序，并调试运行。

2.活动2：对比两种计算圆周率的算法

活动要求：

（1）改写数学公式法求解圆周率的程序设计，要求可以输入精确度要求，并输出运行时间。

（2）多次运行程序，改变limit的值，得到不同的圆周率近似值，并在表格3-4中记录每次的运行结果。

（3）改写随机投点法的程序，要求可以输入总投点数，并输出运行时间。

（4）多次运行程序，改变总投点数，得到不同的圆周率近似值，并用表格3-4记录每次的运行结果。

（5）对比两种算法计算圆周率的运行情况，并填写表格3-5。

3.拓展思考

（1）用欧拉公式和沃利斯公式计算圆周率的时候，对累加器或累乘器变量初值的设置有什么不同？

（2）在随机投点法中，随着总投点数的增加，圆周率的值有什么变化？如何使圆周率的值更加精确？

（3）在日常生活中，哪些事情是反复操作的？类似于本节课学习的循环程序设计，你能举两个例子吗？

4.活动实施说明

（1）圆周率π是一个在数学及物理学中常用的数学常数，在这个问题的计算上，一代一代的数学家贡献出了自己的智慧，本项目中分别给出了欧拉公式、沃利斯公式和计算机模拟随机投点法来计算圆周率，让学生通过Python编程来实现用计算机从不同的方法和角度来解决问题，并对解决问题的效率进行比较，从而实现“运用基本算法设计解决问题的方案，能使用编程或其他数字化工具实现这一方案”的目标。

（2）活动1的难点是提取问题的基本特征，进行抽象处理，并用形式化的方法表述问题，重点是设计算法、理解并掌握如何构建一个循环结构来解决问题。该项目适用于学科核心素养要求在水平2的教学场合。

在本活动中，s=s*item这个式子为累乘的通项公式，对上述沃利斯公式来说，item的一种表示方式是item=（i/（i-1））*（i/（i+1）），i从2开始，每次增加2。解决本问题需要重复进行的工作就是：①构造item值，即item=（i/（i-1））*（i/（i+1）），i=i+2;②累乘item到s，即s=s*item。这里的循环控制条件是变量i的值达到指定值。i的初值为2，终值自己设定，每次加2。上述累乘算法可用自然语言描述，具体如图1所示。

活动1中用流程图描述算法时，要注意强调循环结构的画法，如图2所示。

（3）分别用for循环和while循环的程序设计实现沃利斯公式计算圆周率，对比两种循环的不同点（如图3）。本次两种循环均为确定次数的循环，for循环此时采用遍历结构中元素的个数来体现。while循环可以实现确定次数的循环，也可以实现不确定次数的循环。

（4）活动2是在活动1的基础上进行的，通过对两种算法做简单的改写和对比，让学生学会分析问题，确定算法，并正确组织问题解决过程中涉及的各种数据，体验不同算法的效率。程序中涉及到了Python对函数库的引用方法，格式是：from〈库名〉import〈函数名〉。

Python语言中time库是处理时间的标准库，math库用于进行科学计算，均为Python自带库，安装好Python之后可直接导入，不需另外安装。clock（）函数以浮点数计算的秒数返回当前的CPU时间。两次调用clock（）用来衡量不同程序的耗时。

（5）程序中用到了关系与运算符，特别要注意的是，Python中使用“=”表示赋值语句，使用“==”表示“等于”。此外，Python语言中支持连续比较，如判断x是否为100和200之间的一个数，其表达式为：100<=x>=200。

（6）注意在完成表3-4时会发现，运行程序，输入相同的limit值，会得到相同的pi的值，但是每次得到的运行时间是不一样的，这与系统运行的外部环境相关。在完成表格3-5时，应该强调这一比较的前提是在数据规模相同的情况下进行的。

（7）拓展思考（1）的意义在于让学生理解在用计算机解决相同问题时，根据算法的不同，其初值的設置是不一样的。拓展思考（2）是为了让学生体验随机投点法在数据量较小的情况下，不确定性很大，但是随着数据规模的增大，结果也越来越精确。拓展思考（3）是为了实现知识的迁移，总结利用计算机解决问题的过程和方法，并迁移到与之相关的其他问题解决中去。

项目学习目标

1.学科核心素养目标

能够采用计算机科学领域的思想方法界定问题、抽象特征;运用合理的算法形成解决问题的方案;总结利用计算机解决问题的过程和方法，并迁移到与之相关的其他问题的解决中。

2.内容目标

从生活实例出发，概述算法的概念与特征，运用恰当的描述方法和控制结构表示简单算法。掌握一种程序设计语言的基本知识，使用程序设计语言实现简单算法。通过解决实际问题，体验程序设计的基本流程，感受算法的效率，掌握程序调试与运行的方法。

3.学业目标

依据解决问题的需要，设计和表示简单算法;掌握一种程序设计语言的基本知识，利用程序设计语言实现简单算法，解决实际问题。

4.课时建议

活动1共2课时，建议连堂进行。活动2在活动1进行完之后开展，时间为2课时。