随机变量分布函数计算的问题转化方法

杨高翔 吴航航

(安康学院数学与统计学院， 陕西 安康 725000)

在随机变量分布函数一节的教学中，发现许多学生都难以理解分布函数的概念，在计算随机变量分布函数时感到无从下手。为帮助学生克服学习难点，文献[1— 4]已从不同的方面就分布函数的教学问题进行了探讨。下面，针对随机变量分布函数的计算问题，再介绍一种问题转化方法。

关于随机变量分布函数，教材[5]给出的定义是：设X为随机变量，则下面这个函数就是X的分布函数。

F(x)=P(X≤x),x∈(-∞,+∞)

上述定义不仅包含了对离散型随机变量统计规律的描述，也包含对连续型随机变量统计规律的描述。

1 离散型随机变量分布函数的问题转化

设离散型随机变量X的分布律如下，求X的分布函数F(x)。

X-1012P0.20.10.30.4

将问题转化为：已知X=-1,0,1,2，且x∈(-∞,+∞)，求满足不等式X≤x的X值有哪些。

【分析】 对于转化后的问题，要得到满足不等式X≤x的X值有哪些，则需讨论x的取值情况。

当x<-1时，满足不等式X≤x的X值不存在；

当-1≤x<0时，满足不等式X≤x的X值为-1；

当0≤x<1时，满足不等式X≤x的X值为-1,0；

当1≤x<2时，满足不等式X≤x的X值为-1,0,1；

当x≥2时，满足不等式X≤x的X值为-1,0,1,2；

根据上述x的取值情况，结合随机变量X的概率分布律，则容易得到随机变量X的分布函数。

当x<-1时，因满足不等式X≤x的X值不存在，所以X的分布函数为：

F(x)=P(X≤x)=0

当-1≤x<0时，要满足不等式X≤x，则X=-1；所以，X的分布函数为：

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)

当0≤x<1时，要满足不等式X≤x，则X=-1,0；所以，X的分布函数为：

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)

=0.3

当1≤x<2时，要满足不等式X≤x，则X=-1,0,1；所以，X的分布函数为：

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=0.6

当x≥2时，要满足不等式X≤x，则X=-1,0,1,2；所以，X的分布函数为：

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1.0

2 连续型随机变量分布函数的问题转化

设随机变量X的概率密度函数如下，求随机变量X的分布函数F(x)。

将问题转化为：已知函数f(t)在(-∞,+∞)上的表达式如下，求函数f(t)在(-∞,x)上的表达式，其中x∈R。

【分析】 对于转化后的问题，要得到函数f(t)在(-∞,x)上的表达式，同样需要讨论x的取值情况。

当x<0时，函数f(t)在(-∞,x)上的表达式为：

f(t)=0,t∈(-∞,x)

当0≤x<1时，函数f(t)在(-∞,x)上的表达式为：

当1≤x<2时，函数f(t)在(-∞,x)上的表达式为：

当x≥2时，函数f(t)在(-∞,x)上的表达式为：

根据上述表达式，可非常容易地得到随机变量X的分布函数。

当x<0时，随机变量X的分布函数为：

当0≤x<1时，随机变量X的分布函数为：

当1≤x<2时，随机变量X的分布函数为：

当x≥2时，随机变量X的分布函数为：

把离散型随机变量的分布函数计算问题，转化为主要讨论满足一类不等式的取值问题；把连续型随机变量的分布函数计算问题，转化为主要讨论已知函数在负半无穷区间上的表达式问题。通过这种问题转化，计算随机变量分布函数的问题就由难变易了。