初等矩阵在线性代数中的巧妙运用

刘瑞杰

摘要：初等变换和初等矩阵如影随形、相伴相生。作为矩阵初等变换的一种转化，理解并熟练掌握初等矩阵，有助于对矩阵初等变换本质的理解。灵活运用初等矩阵及相关知识，可以大大提高解题效率。

一、初等变换和初等矩阵

作为矩阵的一种运算，初等变换在线性代数中有着重要的地位和作用，是处理线性代数的主要研究内容，例如行列式、向量组、线性方程组等相关问题的主要工具。只要能熟练掌握初等变换，很多问题便能迎刃而解，初等变换似乎成了一种万能的方法。它的出现也为初等变换和矩阵的乘法提供了一种纽带，使得初等变换和矩阵乘法可以相互转化。初等变换分为初等行变换和初等列变换，各自分别包含三种类型的初等变换，由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等行变换对应有三种类型的初等矩阵，分别为

（1）交换n阶单位阵的第i行和第j行，得初等矩阵E （i， j）。

（2）以非零常数k乘n阶单位矩阵的第i行元素，得初等矩阵E（i（k））。

（3）以非零常数k乘n阶单位矩阵的第j行加到第i行上，得初等矩阵E （ij（k））。

由于初等矩阵是由单位矩阵进行一次初等变换得到的的特殊矩阵，所以它的逆矩阵以及相关乘法的运算都是具有很大技巧性的。初等矩阵由于与单位矩阵等价，所以均是可逆的，且逆矩阵仍是初等矩阵。三种行初等矩阵的逆矩阵分别如下：

三种初等列变换对应的初等矩阵的逆矩阵同上。所以，在解题时，可以利用初等矩阵的逆矩阵进行巧妙解题。

二、初等矩阵的巧妙运用

对m行n列的矩阵A每进行一次初等行变换，就相当于A左乘一个可逆矩阵P1，进行l次初等行变换，就相当于A左乘对应数量的初等矩阵，令，P是l个初等矩阵的乘积，所以P是可逆的。至此，矩阵A的初等行变换可以从矩阵其他运算的角度来看待，看做是用可逆矩阵P左乘矩阵A。初等变换过程就是对A所对应的图形做各种变换的过程，例如，以E（i（k））左乘A可以理解为对A所对应的图像进行伸缩变换。所以，P还可以看做是变换矩阵，PA相当于是变换之后的结果。同样，对A做初等列变换可以看作是用可逆矩阵Q右乘矩阵A。

接下来，我们就通过例子来体会初等矩阵在矩阵运算中的妙用。

例 解下列矩阵方程

分析：设，，则该

矩阵方程可写为PXQ=A，通过观察，不难发现，矩阵P和Q都是由单位矩阵经过一次初等变换得到的初等矩阵，所以P、Q可逆，且，则X=P-1AQ-1。

在教学中，发现大多数学员还是按照惯常思维，先利用初等变换法或者公式法求出P-1和Q-1，然后按照矩阵的乘法计算，步骤繁琐且易错。如果能够理解和熟练掌握初等变换和初等矩阵的关系，以及初等矩阵和它的逆矩阵的关系，并进行巧妙运用，那么该题不需要做任何的计算，就可以快速、准确地计算出最终的结果。

另外，在证明题中，也经常将初等变换“可视化”，转化为矩阵与若干个初等矩阵相乘的形式。

二、小结

对A进行初等变换，将变换的形式及变换程度用数字来体现就是初等矩阵。初等矩阵将矩阵的初等变换变得数字化，变换过程变得没那么抽象。除此之外，矩阵的初等变换往往需要很多步，计算量较大，能运用初等矩阵的相关内容转化，就能大大提高解题效率。

参考文献

1.线性代数第六版[M]，同济大学数学系编，高等教育出版社，2014.06.

2.线性代数第2版[M]，居余马、胡金德、林翠琴等编，清华大学出版社，2002.09.

3.線性代数[M]，李尚志，高等教育出版社，2011.06.

4.关于矩阵初等变换的若干探索，吴晓霞，闽南师范大学学报（自然科学版），2018.01.