空间向量在立体几何中的应用
2019-11-16陶新平
陶新平
高中数学中，立体几何占有很重要的位置，教师在教授的过程中要注重学生立体几何意识的培养，锻炼学生的想象能力.空间向量是学生学习立体几何的一种很好的工具，能够降低立体几何的难度，让解题更加准确，也可以为学生提供更多立体几何的解答方式，因此空间向量在立体几何中的位置还是比较重要的，是解决立体几何的一种常用方法，学生应该掌握好这种有效的方法.
一、空间向量在立体几何解题方法中的应用
空间向量可以对立体几何题目进行优化，让立体几何问题变得更简单.利用空间几何向量，可以在立体几何问题上建立坐标进行计算.将立体几何转化成数字，更加方便计算，学生也更加容易理解.
例如，图1所示的空间四边形的边长和对角线的长度都为a，点M、N分别是边长AB和CD的中点.求证：（1）MN⊥AB，也垂直于CD.（2）求MN的长度.（3）异面直线AN和CM的夹角余弦值.在这一题目中，如果用传统的几何方法解题，那么证明两条线的垂直可以用简单的定理来证明，但是求MN的长度时，如果还采用原始的方法，就需要做辅助线，利用几何关系来求解，过程会比较复杂.在对异面直线夹角的余弦值进行求解的过程中，要利用余弦值的公式，代入两边的长度，才能够求解，还需要计算出三条边的值，计算很烦琐，而利用空间向量的方式就可以避免这些复杂的计算，快速得到答案，计算出余弦值为23.
二、空间向量在立体几何解题策略中的应用
学习空间向量这种方法是要让学生掌握立体几何的解题策略，培养学生运用空间向量解决立体几何问题的能力，让学生能够将复杂的立体几何问题转化成简单的代数运算，在这一过程中培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力.学生在解决立体几何问题时，应当掌握一定的策略，对图形进行正确分析;然后建立正确的坐标系，用最简单的方法将立体几何图形中涉及的元素提取出来，用空间坐标去表示，在建立好坐标系之后，可以利用相关的公式，代入进行解决;最后，只需要进行简单的运算就可以解决复杂的空间几何问题.
例如，如图2所示，求直线和平面的夹角，需要学生能够想象出直线的方向向量和平面法向量之间的关系，能够对自由平移向量构成清晰标准的图示，在此基础上，弄清楚线面所成角θ和直线方向向量与法向量夹角
三、空间向量在立体几何优化解题中的运用
利用空间向量还可以优化解题，应用范围广，可以很好地解决空间中的成角問题，包括直线和直线的成角、直线和平面的成角，以及平面和平面之间的成角.每种不同的成角问题都有相对应的公式，只要建立好了坐标系，就可以快速方便地求解.
例如，如图3，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求线段PH的长.解答该题目学生应该明确平面的向量表达是由法向量和面内一点可确定平面内任意点或是由面内一组基底的线性表达可以确定平面内任意点，那么就不难获得确定点H的方法，由点H在线段PC上，设PH=λPC，λ∈（0，1），借助λ可表示AH.在此之后，一种方法，是用平面ABF的法向量与AH垂直来确定λ;另一种方法，是依据平面向量基本定理，以AB，AF为基底，设AH=mAF+nAB，通过向量相等解出λ.
综上所述，随着社会的发展和时代的进步，需要不断地更新和优化教学理念和教学方式，提高课堂效率，完成素质教育的目标.在立体几何的学习中，空间向量是一种很好的方法，教师应该以学生为主体，不断地探索和实践空间向量的教学方法，更新教学理念，让学生掌握空间向量这种高效的解题方法，对立体几何有更深入的理解，掌握更多的解题方法和策略，提高解题效率和准确率.
