追根溯源 “圆”来如此

文武益燕

（作者单位：江苏省无锡市蠡园中学）

圆作为初中数学里一个重要的几何图形，其知识点众多。圆中的弧、弦、圆心角、圆周角、切线等有很多常用的性质，在处理圆的相关问题时常常要结合数学中的其他知识综合解决。因此，同学们在解题时需结合图形，认真分析隐含条件，追根溯源，结合已有的学习经验，联想相关知识，作出辅助线，发现此类问题“圆”来如此。

一、圆中重要的角——圆周角与圆心角

例1 如图1，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（ ）。

图1

A.180°-2α B.2α

C.90°+α D.90°-α

【分析】本题要求∠OBC，观察发现它既不是圆周角也不是圆心角。首先想到将其放到一个三角形中，于是连接半径OC，这样∠OBC就是等腰△OBC中的一个底角，只需求出顶角∠BOC即可；而顶角是一个圆心角，于是想到同弧所对的圆周角∠A，这样∠OBC的度数即可求出。

解：如图2，连接OC，

图2

∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，

∴∠BOC=2∠A=2α，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=90°-α。

故选：D。

【点评】本题考查了圆周角的性质，“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”。其实在圆中，圆周角和圆心角犹如一对“双胞胎”，形影不离。在做题时我们要能够灵活地进行相互转化。当然，圆中的辅助线——“连半径”也是常作的辅助线，这里就构造出了等腰三角形。

例2 如图3，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（ ）。

图3

【分析】求∠A的正切值，可是∠A并不在一个直角三角形中，它是一个圆周角，于是想到同弧BC所对的圆心角。连接半径OB、OC，再利用垂径定理，可以进行相等角的转化，最后解直角三角形即可。

解：如图4，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC。

图4

故选：D。

【点评】在非直角三角形中求一个角的三角函数值，我们的常用方法是构造直角三角形或是通过相等角的转化思想来解决问题。

二、圆中重要的定理——垂径定理

例3 如图5，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知BD=5，则OH的长度为 _____。

图5

【分析】由条件“直径经过弦CD的中点H”，根据垂径定理得出AB⊥CD，连接OD。在Rt△BDH中，由三角函数求出DH=4，由勾股定理得出BH=3，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可。

解：如图6，连接OD。

图6

∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，

∴AB⊥CD，

∴∠OHD=∠BHD=90°。

∴DH=4，

∴BH=3，

设OH=x，则OD=OB=x+3，

在Rt△ODH中，由勾股定理得：

x2+42=（x+3）2，

【点评】垂径定理是一个非常重要的定理，它揭示的是图形的位置关系和数量关系。在圆中，常常会添加与垂径定理相关的辅助线，比如连接半径、过圆心作弦的垂线段等，目的都是为了构造直角三角形这个基本图形，而勾股定理的运用在问题的解决中往往发挥着不可替代的作用。

例4 如图7，Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是弧AB的中点，CD与AB的交点为E，则等于_______。

图7

【分析】由D是弧AB的中点，联想到连接OD，交AB于点F，利用垂径定理的推论得出DO⊥AB，AF=BF，发现FO是△ABC的中位线，进而得出DF的长和△DEF∽△CEA，再利用相似三角形的性质求出即可。

解：如图8，连接DO，交AB于点F。

图8

∵D是弧AB的中点，

∴DO⊥AB，AF=BF，

∴FO是△ABC的中位线，AC∥DO。

∵BC为直径，AB=4，AC=3，

∴DO=2.5，

∴DF=2.5-1.5=1。

∵AC∥DO，

∴△DEF∽△CEA，

【点评】圆中出现弧的中点以及弦，该中点和圆心连接的这条半径肯定要作出来，因为正好可以利用垂径定理，得出平分弦、垂直于弦的结论。线段的比例问题，常常需联想相似。本题根据已知得出△DEF∽△CEA是解题关键。

三、圆中重要的位置关系——点与圆、直线与圆

例5 如图9，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是_______。

图9

【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离d与半径r的大小关系来进行判断。当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内。

解：连接BD，在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，则BD=

由图可知3＜r＜5。故答案为：3＜r＜5。

【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，其评判标准主要是看d与r的大小关系。

例6 以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=-x+b与⊙O相交，则b的取值范围是_______。

【分析】本题是几何问题，但题目没有给出图形，所以我们第一步应先画出半径为2的圆。直线y=-x+b这个解析式中k=-1，已经暗示了直线的特征，单调递减，倾斜角是135°。直线与圆相交的情况太多了，所以应联想到临界状态，直线与圆相切时的情形。求出直线y=-x+b与圆相切的两个b值，则相交时b的值在相切时的两个b值之间。

解：当直线y=-x+b与圆在第一象限相切，且直线经过一、二、四象限时，如图10。

图10

在y=-x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），

当y=0时，x=b，则直线与x轴的交点是（b，0），则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形。

连接圆心O和切点C，则OC=2，

同理，当直线y=-x+b与圆在第三象限相切，且直线经过二、三、四象限

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，其中直线与圆相切是最特殊的位置关系，是中考考查的重点。遇36 难点突破切线，我们有句口诀，“见切点，连半径，得垂直”，然后解直角三角形即可。当然我们也要注意，当题目中没有给出图形时，自己画图过程中要考虑是否有多种情形，不要漏解。