偏场下薄膜体声波谐振器频率偏移的摄动分析

张大鹏　高杨　许夏茜

摘要：为准确预测测量力、热场的薄膜体声波谐振器（FBAR）传感器的灵敏度，采用叠加于有限偏场之上的小增量场理论描述，提出一种摄动与有限元联合求解方法。该方法利用COMSOL有限元软件计算FBAR传感器受外界载荷下其压电层AlN的平均偏置应力，进一步在COMSOL中计算FBAR的谐振频率与相应的振型，将有限元的计算数据代入摄动积分公式中，得到FBAR传感器的频率灵敏度。并以一个圆膜片FBAR为案例，介绍该方法用于计算圆膜片FBAR频率-集中力灵敏度的详细过程。采用摄动与有限元联合求解方法得到的频率灵敏度为41.3MHz/N，与文献报道的实验结果50MHz/N接近，验证了方法的可行性。

关键词：传感器;薄膜体声波谐振器;频率偏移;摄动;有限元

中图分类号：TP212.1;TB931

文献标志码：A

文章编号：1674–5124（2019）03–0012–06

Perturbation analysis of frequency shift in a thin film bulk acoustic wave resonator under biasing field

ZHANG Dapeng1， GAO Yang2， XU Xiaxi1

（1. School of Information Engineering， Southwest University of Science and Technology， Mianyang 621010， China; 2. Institute of Electronic Engineering， China Academy of Engineering Physics， Mianyang 621900， China）

Abstract： In order to accurately predict the sensitivity of thin film bulk acoustic wave resonator （FBAR） sensors for measuring mechanical or thermal field， a combined perturbation and finite element method is proposed based on the theory for small field superposed on the finite bias. Firstly， the average biasing stress of piezoelectric layer AlN of FBAR sensor under external load is calculated by COMSOL finite element software. Then， the resonant frequency and corresponding mode shape of FBAR are calculated in COMSOL. Finally， the calculated data of the finite element are substituted into the perturbation integral formula to obtain the frequency sensitivity of the FBAR sensor. The frequency sensitivity obtained by the perturbation and finite element method is 41.3 MHz/N， which is close to the reported experimental result of 50 MHz/N. The feasibility of this method is verified.

Keywords： sensor; thin film bulk acoustic wave resonator; frequency shift; perturbation; finite element

0 引言

1980年Lakin和Wang[1]公开了第一个薄膜体声波谐振器（thin film bulk acoustic wave resonator，FBAR），FBAR便以其高Q值、小体积、可集成化等特点逐渐吸引了研究者的关注。随着移动通信技术的发展，FBAR技术不仅在射频滤波器应用中得到了飞速发展，在传感检测应用中也表现出了很大潜力[2]，比如生物化学检测[3-4]、力学检测[5-6]。FBAR换能器的生物化学检测依赖于FBAR的质量负载效应，其灵敏度的预测方法由Sauerbrey方程[7]给出;力学检测目前主要采用实验测试[8-11]的方法，其灵敏度的预测方法报道较少，且存在有效性和易用性问题。文献[12]提出了一种基于Mason模型的多尺度计算方法，文献[13]提出了一种基于有限元的多尺度计算方法。这些方法都只修正了线性压电理论中压电材料的弹性常数，而偏场（力、电场）的存在会导致线性压电理论失效，在偏场作用下压电体的行为采用有效材料常数来描述，这是完全非线性压电理论的结果。1971年Tiersten[14]给出了非线性压电理论的基本方程组。对于谐振器在偏场作用下的行为，需要利用叠加于有限偏场之上的小增量场的线性方程来描述。Tiersten[15]在1978年给出了叠加于有限偏场之上的小增量场的线性方程的摄动公式，Sinha和Tiersten[16-17]利用该公式研究了温度对谐振器的影响，Kosinski[18]利用摄动与结构理论相结合研究了石英晶体谐振器的加速度灵敏度，Masson等[19]利用摄动与Fahmy-Adler公式相结合研究了受准静态应力的石英FBAR的应力灵敏度。文献[14-19]均是研究的石英晶体谐振器，石英是单晶，而在以AlN（氮化铝）为压电材料的FBAR中，AlN实质是多晶，只是晶体在c轴（与c轴垂直的晶面为002面）方向有取向。因为体声波是沿晶胞体内传播，而沿c轴体声波速率最快，大多数晶胞都是趋向于c轴垂直于基片，这样体声波才能较为顺利的定向传播，也即AlN薄膜呈多晶c轴择优取向。利用上述方法預测AlNFBAR的频率灵敏度并不能与文献报道的实验结果吻合。

针对以上不足，本文提出了一种摄动与有限元联合求解的方法。利用有限元软件计算FBAR压电层在外界载荷下的平均应力、FBAR在无扰动下的谐振频率和振动模态，再使用摄动积分公式得到FBAR传感器的频率灵敏度。通过圆膜片FBAR的案例，描述了方法的具体流程，并将计算结果与文献[10]报道的实验结果进行对比，验证了方法的可行性。

1 模型建立与求解

1.1 摄动积分法

压电晶体谐振器在偏场作用下，最终状态可通过两步到达：一是在初始偏场作用下产生有限静态变形和电场;二是偏场之上的动态小增量场。这种情况可以通过求解一系列线性偏微分方程而得到谐振器的最终状态，只不过方程的系数与初始变形和场有关，这就是叠加于有限偏场之上的小增量场的线性方程的摄动法。图1所示为压电晶体谐振器的3种构型。

1）参考构型。在t=0时刻，压电体未发生形变而且不受电场作用。参考构型中的压电体质点用X表示，其笛卡尔坐标为XK，压电体的密度用ρ0表示。

2）初始构型。此时，压电体上已受到有限静电场或静态力场作用，并且发生了有限静态变形，这种变形和电场为偏场。此时压电体质点X的位置为x=x（X），应变为E0，电势为φ0（X），偏置位移w=x?X。

3）现时构型。向已在初始构型中发生静态变形的压电体之上再施加与时间相关的小增量变形与电场。X的最终位置由y=y（X，t）确定，最终电势为φ0（X）+φ1（X，t），位移增量u（X，t）=y（X，t）?x（X），电势增量为φ1（X，t）。

叠加在偏场之上的小增量场的线性压电方程可以表示为：

其中，大写指标表示参考构型;小写指标表示现时构型;希腊指标表示初始构型;指标后面的逗号表示对坐标的偏微分，指标取值1，2，3，并服从爱因斯坦求和约定。第一Piola-Kirchhoff应力增量KL1γ和电位移增量?1K线性依赖于位移梯度和电势梯度。GLγMα、RMLγ和LKL分别被称为有效弹性常数、有效压电常数和有效介电常数。不论是石英还是AlN，它们都是压电耦合效应较弱的材料，因此可以只考虑有效弹性常数[17]：

其中，T-T0表示初始构型下压电体受到的偏场，如压力、温度等;cLγMα和cLγMαKN分别被称为二阶和三阶弹性劲度常数（除非特别指出，后文均简称为弹性常数）;c?LγMα被称为弹性常数的偏置系数;?cLγMα为由偏场引起的弹性常数线性变化;δγα为Kronecker张量;wα，K表示偏置变形梯度;T1和E1分別表示由偏场导致的静态偏置应力和应变。静态偏置应力和应变定义为：

而均匀刚性介质的转动在压电振动的动力学中不起作用，应变矩阵对称，因而可以得到：

将式（5）和式（6）代入式（3）中，可以得到

其中，sABLM为弹性顺度常数（elastic compliance constant）;弹性顺度矩阵[s]与弹性劲度矩阵[c]互为逆矩阵，即：

对于计算压电谐振器受到环境因素（如在谐振器中引起偏场分布的温度、力和加速度变化等）而导致的频率漂移是以叠加于有限偏场之上的小增量场理论为基础的特征问题。考虑纯弹性非线性，Tiersten[15]给出了计算压电谐振器由偏场引起的频率漂移的一阶摄动积分公式：

其中，ω和ωμ分别为扰动后和扰动前压电谐振器的特征角频率;?μ表示谐振角频率的变化;式（11）给出的摄动积分公式看起来很复杂，但本质上可以理解为：H表示谐振器在振动模态下随空间变化的有效弹性常数的加权平均值，其权重因子由振动模态的振型决定;gμγ表示对振动模态下实际位移uμγ的归一化振型，压电体的体积为V，上下标μ表示第μ个特征模态。一阶摄动积分公式有效地将含偏场影响的复杂特征值问题式（1）分解为求解偏场的状态问题和求解无偏场时的振动问题两个相对简单的问题。

对于测量力热场的压电传感器而言，由偏场引起的频率漂移还需要考虑弹性常数的线性变化?cLγMα，因此在式（11）中除了c?LγMα项，还要加上?cLγMα项，重写式（11）为：

将式（14）代入式（10）中，通过变形可以得到由偏场引起的相对频率偏移?μ为：

其中υL是压电体表面S的法向量。假设表面应力为0，则式（15）右边的面积分可以消去。将式（4）和式（7）代入式（15）中，得到：

若偏置应力T1在压电体内分布是均匀的，KN可设材料辅因子k和振动模态因子U分别为：

因此谐振器频率-偏置应力灵敏度ΓKN可写为：

谐振器由偏场导致的相对频率偏移可简化为：

1.2 摄动与有限元的联合求解

当FBAR传感器受外界载荷时，FBAR受限于安装结构而发生变形，此时引起FBAR的谐振频率漂移最主要的机制是声速的变化。在决定声速的因素中，压电层的弹性常数是最主要的因素。因此采用摄动与有限元联合求解FBAR谐振频率偏移的基本思路是：首先计算FBAR传感器受外界载荷时，FBAR结构的偏置应力;然后计算FBAR压电层的平均偏置应力，建立外界载荷与平均偏置应力的关系;接着利用有限元软件求解FBAR的特征模态和特征频率，并计算振动模态因子ULγMα;再利用摄动积分式（19）计算FBAR的频率-应力灵敏度;最后根据外界载荷与平均偏置应力的关系，得到FBAR传感器的频率灵敏度。有限元软件采用COMSOL Multiphysics软件，具体步骤如下：

1）求解FBAR结构偏置应力。在COMSOL中建立FBAR传感器的结构模型，加载外界载荷进行稳态求解，得到FBAR结构的偏置应力分布云图。外界载荷可以是加速度、压力或温度。

2）计算FBAR压电层的平均偏置应力。采用平均偏置应力可以简化计算，并拟合出外界载荷与平均偏置应力的关系式。

3）求解FBAR的特征模态和特征频率。建立单独的FBAR结构模型，边界条件与传感器中保持一致，定义FBAR压电层为积分域，使用特征频率求解，得到FBAR纵波模式所对应的特征频率和相应的振型，并计算振动模态因子ULγMα。

4）计算频率-偏置应力灵敏度。利用压电材料（AlN）弹性常数与应力的关系，得到dcLγMα的值，并计算材料辅因子kLγMαKN，将上述计算的数据代入式（19）中，可以得到FBAR的频率-偏置应力灵敏度。5）计算FBAR传感器的频率灵敏度。利用拟合的外界载荷-平均偏置应力的关系式，得到FBAR频率-外界载荷的灵敏度。

2 案例验证

本算例的结构模型来自于文献[10]中圆膜片型FBAR。在COMSOL软件中建立圆膜片型FBAR结构的二维轴对称模型，其叠层结构由下至上依次为支撑层Si（厚2μm）、绝缘层SiO2（厚0.4μm）、底电极Pt（厚0.15μm）、压电层AlN（厚1μm）、顶电极Pt（厚0.15μm）、钝化层Si3N4/SiO2（厚0.7μm/0.4μm）。设置其顶、底电极的电压边界条件分别为终端（1V）和接地（0V），侧壁固定，对称轴边界条件为u（r）=0，即横向位移为0，其二维轴对称模型及边界条件示意图如图2所示。外界载荷为集中力，作用于圆膜片FBAR的中心。计算过程中所涉及的材料参数如表1所示，AlN的三阶弹性常数[20]如表2所示，表中與后面的计算均采用缩写下标表示。AlN共有10个独立的三阶弹性常数，其他三阶弹性常数均可通过对称关系[21]求解得到。

利用COMSOL中稳态分析，圆膜片FBAR中心受到轴向的集中力载荷F，求解得到压电层（AlN）的径向平均（体平均）应力T1、T1和轴向平均12应力T31，并定义压应力为正，拉应力为负。而轴向平均应力远远小于径向平均应力，可以忽略。径向平均应力与集中力载荷的关系如图3所示，径向平均应力（Pa）与集中力载荷（N）拟合关系式为：

在FBAR传感器中，FBAR仅仅是一个敏感元件，除了计算传感器受外界载荷下压电层的偏置应力，还要单独建立FBAR的结构模型，用于计算FBAR的谐振频率和相应的振型，并且边界条件需符合传感器结构。在此案例中，外界载荷直接作用于FBAR上，因此可以直接利用上述模型，不需要重新构建。利用COMSOL特征频率分析求解FBAR的谐振频率及其相对应的振型，得到FBAR的厚度拉伸模态（纵波模式）的振型如图4所示，其谐振频率约为1.3914GHz。定义FBAR压电层为积分域，利用COMSOL的体积分计算振动模态因子。在FBAR中主要考虑的是纵波模式，因此只需要计算U33。得到U33=1.2625ppm/MPa。

利用AlN的二阶弹性常数和式（8），计算得到弹性顺度常数sABLM，利用表3中AlN应力-弹性常数的表达式[22]，计算得到dc33+dc33=?6.47，从表3中可以看出弹性常数对双轴水平方向应力P//的一阶导数约为弹性常数对单轴水平方向应力P/的一阶导数的两倍。将上述数据代入式（17）中，计算得到在纵波模式下受径向应力时，材料辅因子k331+k332=?11.914。最后将数据代入式（19）并结合式（21）得到FBAR频率-集中力载荷灵敏度约为41.3MHz/N，与文献[10]的灵敏度50MHz/N接近。

3 结束语

本文提出了一种摄动与有限元联合求解方法，利用COMSOL中的稳态分析求解压电层AlN受到外界载荷下的平均偏置应力，建立外界载荷和平均偏置应力的关系，再利用COMSOL中的特征频率分析求解FBAR的谐振频率和相应的振型，最后利用摄动积分公式得到FBAR的频率-外界载荷的灵敏度。使用摄动与有限元联合求解方法计算了圆膜片FBAR案例的频率灵敏度约为41.3MHz/N，与文献报道的频率灵敏度50MHz/N接近，验证了方法的可行性。

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（编辑：李刚）