函数极限的几种常用求法

杨丹　李本雄　张敏

摘 要 函数极限是微积分知识的基础，是微积分学中各种计算方法和概念得以应用与建立的前提，其应用也十分广泛。但函数极限种类繁多，在实际解题中容易出错。因此，本文详细的阐述了函数极限的几种常用方法，而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明，并以实例加以解释。

关键词 函数极限 求解方法

中图分类号：G712文献标识码：A

函数极限理论是微积分的重点，同时函数极限也为微积分的发展奠定基础，这部分内容的掌握直接影响到后面导数和积分的学习。下面对求函数极限的几种常用方法进行总结，并分别辅以例子加以解释，使学生能够更灵活的运用这些方法来求极限。

1四则运算法则法

定理：设则

（1）;

（2）;

特殊地，设为常数，则

。

（3）

推广：

（1）有限个函数之代数和的极限等于各个函数的极限之代数和;

（2）设，则。

（3）设为常数，则。

利用函数的四则运算法则对有理函数及有理分式函数求极限。这是极限运算中，算常见的方法，不过要着重强调运算法则中的充分非必要条件（分母不为零），所以，在运用这种方式解题时，要对每个已知条件进行验证。

例1：求极限。

解：

2两个重要极限公式法

两个重要极限是和。利用两个重要极限公式来求函数的极限时，要对函数形式仔细观察，只有形式符合或经过变形后符合这两个重要极限的形式才能运用此公式法来求极限，如、、。一般常用的方法是换元法和配指数法。

例2：求极限。

分析：是型的未定式且式中含有正弦函数，但分母和分子中方框没代表同一量，须变为相同。

解：。

例3：求极限。

分析：不能直接利用重要极限，先要化简。将其底变为“1+无穷小”，（中间必须是“+”），而指数为无穷小的倒数。

解：

。

3运用无穷小量求极限

无穷小量在求解函数极限中主要有三种应用：一是利用无穷小的定义、二是利用“有界无穷小”性质、三是使用等价无穷小代换法求极限。

例4：求极限。

解：将分子分母分别提取，从而有

例5：求极限

解：当时，是有界变量（因为），且为当时的无穷小量，根据有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小的性质得

。

例6：求极限

解：当时，，所以

.

4运用洛必达法则求极限

在函数极限问题的求解中，洛必达法则多用来求未定式极限，要求在点的空心邻域内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零。在求函数极限时，对于型或型未定式，以及像型、型、型、型型等利用取倒数，通分或取对数的方法转化为或型未定式。这时，如函数极限的四则运算法则不适用，但极限仍可能存在，求这类未定式极限的有效方法就是洛必达法则。但并不是所有的或型未定式都能利用洛必达法则求极限，若无法断定的极限状态或能断定它振荡而无极限，则洛必达法则失效，这是函数极限存在的充分条件，值得注意的是洛必达法则可循环使用。

例7：求极限。

解：这是型未定式，运用洛必达法则

。

利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。

5利用夹逼定理计算函数极限

利用夹逼定理计算函数极限，基本定理为：若对于的某去心邻域内的一切，都有，且，则。

若函数极限不容易通过直接的计算方式获取，我们可以考虑适当的将极限的变量放大或缩小，要求放大或缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，但是要保证放大或缩小之后，所獲取的极限值与原有极限值相同，即两者是等价无穷小，这样便可以有效的实现等价计算。

本文总结了求函数极限的几种常用方法。如能熟练掌握本文总结的几种方法，已经能够对函数极限的求解问题有一个较全面和深刻的认识，也能够解决一大部分函数极限求解问题。

参考文献

[1] 刘金舜，羿旭明.高等数学教程[M].科学出版社，2013.