局部均值分解的几种改进方法∗

骆东松 裴 阳 黄 涛

（兰州理工大学 兰州 730050）

1 引言

工业生产中旋转机械故障频发，危害巨大。人们在探索旋转机械故障诊断的方法时引入了局部均值分解方法（Local Mean Decomposition，LMD），该方法在2005 年由Jonathan S.Smith 学者提出。LMD 方法非常适合分析非平稳信号，它可以将非平稳信号自适应地分解成一系列乘积函数（Product function，PF）之和的形式，每一个PF 分量由一个包络信号和一个纯调频信号组成，这样的调幅-调频信号不仅可以准确地反应出非平稳信号的时频分布，而且在分析多分量的非平稳信号方面有显著优势。然而，LMD 方法本身存在的一些理论缺陷是值得我们研究完善的，如端点效应的处理方法，迭代终止条件的选择。本文将针对这两个问题提出新的解决思路和方法，以求改善LMD方法。

2 LMD方法

在实际生产中，监测旋转机械所得到的振动信号一般都是包含了丰富的调幅-调频分量的多成分信号，LMD 可以将这样的复杂信号分解成单分量的调幅-调频信号，在故障分析时这种信号更容易分析。所以LMD 方法被广泛地应用于旋转机械故障分析领域，其分解步骤本文不再赘述。LMD 的分解过程是一个自适应的分解过程，这个过程以信号自身的局部极值点作为基础，经过多次循环迭代，求出一个纯调频信号，然后在此基础上迭代出一个PF 分量。将这样的过程往复循环，最终得到一个单调函数uk（t），分解过程就此结束，即:

3 端点效应改进方法

LMD 方法分解信号的基础是信号的极值点，依靠极值点构建局部均值函数和包络估计函数。如果原始信号的左右端点不是原始信号的极值点，分解误差就会在端点被引入，随着迭代的递进，误差会逐渐向内“污染”，直到迭代结束，造成严重的分解失真。因此在LMD 方法问世起如何改进这一缺点就一直是人们研究的重点，文献［1～2］使用“极值点延拓”解决原始信号的端点效应，文献［3～4］讨论了“波形延拓”方法对端点效应的抑制作用。文献［5～6］以“镜像延拓”作为处理端点效应的方法，镜像延拓的核心思想是将信号镜像成一个闭环波形，直接消除端点的存在，起到抑制端点效应的作用。以上三种方法都是以某种方式“延拓”原始信号，在某种程度上起到了抑制端点效应的作用。在不断地探索中人们又总结出另一种基于现代计算机技术的端点效应抑制方法。文献［7～8］中利用“极值预测法”，通过对大量数据的分析直接对端点所对应的极值直接做出预测。文献［9～10］在分析EMD 方法时用到了“序列预测法”，这种方法与“极值预测法”一样都是依托计算机技术的强大运算能力，但是“序列预测法”顾名思义，就是利用大量数据分析，预测整个原始波形的走向趋势，预测出极值点。预测法中最成熟的方法是“神经网络预测法”，文献［11～12］利用这种方法解决EMD 分解方法的端点问题，神经网络作为一种可训练的数据处理方法，将其引入到预测端点极值的问题中，首先要将原始信号在端点处的特性划归为若干个样本，然后采用神经网络的学习能力训练这些样本，并预测端点所对应的极值。“神经网络预测法”的预测精度很大程度上依赖样本的数量，以及参数的设定，为了得到更精准的预测数据，需要花费大量时间训练样本，在实际应用中并不可取。

3.1 自适应波形匹配延拓法

本文将利用“自适应波形匹配延拓法”解决LMD 端点效应这一问题。“自适应波形匹配延拓法”的主要思路是在原有数据中找到跟端点波形相似的波形，用原有的波形变化趋势对端点附近波形进行延拓；反过来讲，旋转机械的振动波形很大程度上有一定的规律性和周期性，这也是“自适应波形匹配延拓法”可行性的实际支撑点。

文献［13］利用零点特征将原始信号分段并且利用频域中的“判别因子”判断信号的相似性，这种方法合理地规避了时域信号中的噪声信号对延拓过程的影响，但是过程中需要繁琐的波形重复过程。文献［14］利用信号端点和原始信号的极大值与极小值构造的“三角波形”作为延拓的参考依据。本文以“三角波形”法作为基础，利用端点与其相邻的极大值和极小值构造判别因子。这种方法基于信号的周期性，可以有效地规避噪声干扰，并且过程精简，有利于实际应用，以左端点为例，延拓过程如下:

1）判别三角形:找出原始信号x（t）的左端点记为x（t1），向右扫描信号，分别找到相邻的极大值与极小值记为max（m1）与max（n1），以x（t1）、max（m1）与max（n1）组成判别三角形。

2）误差公式:扫描整个原始信号，找出与判别三角形最近似的三角形，根据文献［17］中的判别条件，提出如下判别公式:

其中，E（i）表示第i个三角形的误差数值，E（i）越小表示此三角形越相似于端点三角形。xi表示第i 个三角形的端点值，maxi表示第i个三角形的极大值，mini表示第i个三角形的极小值，t1、ti、tmax、tmin是以上值所对应的时间，N是满足条件的所有三角形的数量，其中e为设定的阈值。

3）求得目标三角形:找出所有E（i）［i=1，…，n］中的最小值，即Er。Er所对应的三角形就是目标三角形，确定该三角形端点的时刻Ti，以Ti时刻为基点向左扫描原始x（t）找到最近的极值点，记做x（Ti-1），此时x（Ti-1）就是左端点所需要延拓的极值。

按照同样的方法延拓原信号的右端点，求得延拓后的完整信号记做x’（t）。将完成延拓的信号x’（t）做LMD 分解，将分解后的PF 分量按原始信号x（t）对应的时刻进行截断，这样就得到了最终的LMD分解结果。

3.2 仿真与对比分析

经过以上分析，总结出了一种消除端点效应的方法，本小节将利用这种方法对实际信号进行分析，以体现其优越性。

如图1 所示，（a）是原始信号的波形图，（b）是镜像延拓之后的信号，（c）是采用自适应延拓之后的信号，对比两端点部分的信号特征，可以明显看出自适应延拓法要比镜像延拓更加准确。

图1 两种延拓结果对比

4 迭代终止条件的选择

由前文的总结可知由迭代产生纯调频信号是LMD 分解过程的一个重要步骤，产生的纯调频信号与包络信号的乘积就是PF 分量。传统的LMD方法要求纯调频信号满足:

并且其包络函数满足:

时迭代结束，这种条件只是理想状态下的迭代终止条件，并不符合实际信号处理的要求。所以，为了使得LMD 方法更具完备性和准确性，人们提出了许多迭代过程终止的判断方法，如文献［15］提出的一种标准差（Standard Deviation，SD）判据，这种判据是以一个预先设置的阈值作为判断依据，当前后两次的迭代结果差值低于阈值，就认为迭代结束；文献［16］讨论了EMD 的迭代终止条件。终止条件的理论依据是IMF分量是一个窄带信号，当迭代深入时IMF分量的频率带宽会逐渐减小，以预先设置的带宽阈值作为判断依据，这样的迭代终止依据所确定的IMF分量几乎不会产生模态混淆；文献［17］从信号的能量入手，即认为任意信号x（t）的能量值都可以表示为

并且由式（5）可知原始信号被分解成了若干个信号和的形式，所以分解前后信号的能量是守恒的，根据这一原理在一定的误差范围内，将分解后信号的能量和与原信号的能量做比，比值越接近1，说明分解越完备、越准确。即式:

的值在一定阈值以上，就认为迭代完成。

文献［18］利用IMF分量的正交性，提出了正交性判据（Orthogonality Criterion，OC），这种判据可以保证迭代结果的完备性和正交性。考虑到PF分量也具有的正交性，文献［22］将OC 判据引入到LMD方法中，作为一种迭代终止判据，在预先设定的阈值范围内，式

的比值越接近1就表示分解越彻底。

由以上分析，判断LMD 分解完备的方法有很多，每个不同的出发点都会引出不同的解决方案，只是最后的判断条件都离不开一个设定的阈值，阈值的设定主要依靠人为经验，缺乏理论支撑，所以给判断结果带了许多不确定性。为解决这一缺点本文将信息熵的判断的方法引入到LMD 方法的迭代终止条件判据中。

4.1 基于信息熵的LMD方法迭代终止判据

设一个信号x（n），有N 个取值的可能性，且每个取值的概率为Pi（其中i表示第i个可能的取值），其信息熵的计算公式为

信息熵所描述的是信号的不确定性，可以反映出信号的聚集性。在旋转机械发生故障时，其振动信号会包含着以旋转频率为基频的多种倍频信号，这些带有故障信息的信号经过LMD 运算之后，被分解成了若干个PF 分量。由LMD 的分解过程可知，每个PF 分量可以看做是某一频率下的包络信号。因此，在LMD 迭代的过程中，故障信号就会以不同的频率被分离出来。PF 分量中包含的故障信息越多，信号就越有序，时频分布的聚集性就越好，相对应的信息熵就越小，反过来讲，PF 分量中包含的故障信息越少，信号就越无序，时频分布的聚集性就越差，相对应的信息熵就越大。根据以上的分析，可以得知，PF 分量的信息熵的大小直接反应其中所携带故障信号的多少。因此，可以利用PF 分量的信息熵作为LMD迭代的终止的判断条件。

4.2 仿真与对比分析

前文提到，文献［19］利用OC 判据作为LMD 迭代的终止条件，在大量的实际应用中已经论证过其准确性，所以本小节用信息熵判据得出的LMD 结果与OC 判据所得出的结果作比较，证明信息熵方法的可行性。

如图2对于某一信号采用信息熵作为终止条件处理之后的结果用虚线表示；采用OC判据处理信号之后的结果用实线表示，对比两条线段，可见两种结果基本吻合，也就证明了信息熵方法的可行性。

图2 两种判据分解结果对比

5 结语

通过前两节的分析与总结，分别得出针对LMD 方法的“端点效应”与“迭代终止问题”的解决方法。对于端点效应，延拓的目的是通过某种手段找到信号的端点所对应的极值，不同的延拓方法具有不同的出发点，所得出的结果也略有差异，本文采用的思路是从原有信号中找到与端点相似的信号部分，以此为依据对端点做出延拓。而如今的计算机科学不断的发展，对于信号的延拓完全可以依靠带有自主学习能力的算法，如神经网络预测法。对于迭代终止判据的选择也存在不同的出发点，但是大多数方法总会存在人为设定的阈值，阈值的人为设定就给分解结果带来了不确定性。但是这样的判定条件在实际场合中被广泛应用，可见对于一般的故障诊断，这样简单且容易操作的方法更受青睐。