含有通信时延的非完整移动机器人的一致性
2019-11-12田晋宇王创创
田晋宇, 王创创, 何 平
(1.四川轻化工大学自动化与信息工程学院, 四川 自贡 643000;2.暨南大学智能科学与工程学院, 广东 珠海 519072)
引 言
过去的几年里，多智能体系统的分布式协同控制因其广泛的应用而受到关注。其中包括集群、蜂拥和编队控制[1-5]。作为经典的非线性系统，非完整系统引起了众多研究人员的兴趣[6-8]。对于非完整系统，目前已经考虑了两个关于一致性的问题。第一个为无领航者的一致性问题，该控制器可以使多个非完整系统的状态收敛到一个常数[9-10]；第二个是有领航者的一致性问题，该控制器可以使多个非完整系统的状态与领航者的状态相同[11-13]。文献[14]讨论了多个无人车的编队控制问题。文献[15-16]研究了非完整移动机器人系统的一致性问题，提出了一个线性时不变连续状态反馈，使系统的状态变量达到了一致。文献[13]针对多个非完整约束链式系统提出了基于分布式观测器的有限时间一致性控制算法。文献[17]通过坐标变换将机器人的运动模型变换成链式结构，利用反步法设计的轨迹跟踪控制器达到了期望的效果。文献[18]将有限时间一致性控制方法用到了多个非完整约束移动机器人的编队控制中，使得多个移动机器人能在有限时间内达到预期的编队队形。本文主要参考了文献[9]、文献[10]和文献[19]的思想，研究了(2,1)[19]非完整移动机器人编队控制的问题，设计了一种分布式协同控制器，该控制器容许多非完整系统的通信拓扑为一般的无向图，并考虑到通信时延存在的情况。在此控制器的作用下，N个非完整机器人的状态将达到一致。
本文首先介绍非完整移动机器人的运动学模型、图论的基本知识以及相关引理；然后提出针对模型设计的控制算法并利用Lyapunov理论和LaSalle不变原理证明了该算法的可行性；最后通过数值仿真，验证了算法的可行性。
1 问题描述
1.1 移动机器人的运动学
文献[20]提出了非完整轮式移动机器人有(2,0)类型、(2,1)类型、(1,1)类型和(1,2)类型。考虑一组(2,1)型的非完整移动机器人，第i个机器人的非完整约束定义为：
(1)
非完整系统(1)可以通过坐标变换转换为非完整链式系统[21]：
zi1=θi+βi
zi2=-xicos(θi+βi)-yisin(θi+βi)
zi3=βi
zi4=-xisin(θi+βi)+yicos(θi+βi)
ui1=ωi+φi
ui2=-vi+[xisin(θi+βi)-yicos(θi+βi)]
(ωi+φi)ui3=φi
(2)
(3)
对式(3)求导，得：
(4)
1.2 代数图论
在多自主体系统一致性的研究中，图论是一个重要的分析工具。如果用节点代表智能体，用节点间的有向边来表示智能体间的信息传递关系，则可以用图论中的有向图(也称为有向连接拓扑)来描述网络结构。本文考虑了一个具有N个非完整移动机器人的通信网络。假设互连图内部是相互连接的，即存在一个结点使得其他所有的结点都能通过一条定向的路径与它相连。智能体获得互相通信的协议，在该协议下达成指定智能体间的信息交换。它的通信拓扑为加权无向图为G=(V,ε,A),其中V={1,2...,N}为对应点集，ε∈V×V为对应边界集。如果邻接矩阵的元素aij为一般的非负实数，则称其为加权邻接矩阵，相应的图称为加权图。若aij>0表示智能体i和智能体j之间存在信息交换，否则aij=0。假设智能体本身不存在信息交换，即aii=0。图G的Laplacian矩阵L=lij∈RN×N定义为[22]：
当智能体间的拓扑关系为双向通信时，则L为对称矩阵并且半正定[16]。
1.3 控制目标
引理2[19]对于第i个变换系统(4)，如果ui1-ω,zi2,zi4有界且渐进收敛于0，则zi3有界且渐近收敛于0。
引理3[19]如果ui1-ω,uj1-ω,zi2,zj2,zi4,zj4有界且ui1-ω,uj1-ω,zi2-zj2,zi4-zj4渐近收敛于0，则zi3,zj3有界且zi3-zj3渐近收敛于0。
2 控制器的设计
2.1 无通信时延的情况
每个系统从相邻的系统获取状态信息，所以该控制器为分布式控制结构。控制器由与之相邻系统状态差的项构成，但是加权系数由自身状态决定。所以该控制器可以视为基于通信拓扑的控制器。由上述分析，设计如下分布式控制器。
(5)
其中，ω=ρsint，ρ>0，γ>0。
将控制器式(5)带入式(4)得闭环系统：
(6)
定理1分布式控制器式(5)对闭环系统式(6)达成状态一致。
证明由式(6)可得：
(7)
其中，Zq=[z1q,z2q,…,zNq],q=1,2,4，L为拉普拉斯矩阵，则：
Z1=e-LtZ1(0)
Z2=e-LtZ2(0)
Z4=e-LtZ4(0)
(8)
由引理1可知：
limZ1(t)=1ωTZ1(0)=:c11
lim Z2(t)=1ωTZ2(0)=:c21
lim Z4(t)=1ωTZ4(0)=:c41
(9)
可以看出
1≤i≠j≤N。
由式(6)与式(9)可知，ul1-ω,l=1,…,N有界且渐进收敛于0。由引理3可知zl3有界，zi3-zj3,1≤i≠j≤N渐进收敛于0，即lim(zl3(t)-c3(t))=0，其中c3(t)为未知有界函数。
2.2 有通信时延的情况
每个系统从相邻的系统获取状态信息，所以该控制器为分布式控制结构。控制器由与之相邻系统状态差的项构成，但是加权系数由自身状态决定。所以该控制器可以视为基于通信拓扑的控制器。由上述分析，设计如下分布式控制器：
(10)
其中，ω=ρsint，ρ>0，γ>0。
将控制器式(5)带入式(10)得闭环系统：
(11)
定理2分布式控制器式(10)对闭环系统式(11)达成状态一致。
证明选取如下函数作为Lyapunov备选函数
(12)
对式(12)求导得：
由LaSalle不变原理可知，zl1,zl2,zl4将收敛到常数。
3 数值仿真
用两个例子来说明所提出的设计方案并验证所证明的理论结果。
考虑共有4个式(1)非完整移动机器人，机器人之间的通信拓扑关系如图1所示。
图1 通信拓扑图
每个机器人的初始状态值为：
对于每个机器人，可以通过变换式(2)化为链式模型。再计算出链式模型下的初始值：
(z11,z12,z13,z14)=(-0.84,1.72,1.05,5.57)
(z21,z22,z23,z24)=(1.42,-0.84,0.52,1.14)
(z31,z32,z33,z34)=(0.70,4.87,-1.05,-1.13)
(z41,z42,z43,z44)=(-1.57,-2.00,-0.52,2.00)
由1.2节的分析可知，该系统的拉普拉斯矩阵为：
3.1 无通信时延情况的仿真
设置控制器式(5)的参数ρ=1,γ=1，状态轨迹如图2～图5所示。
图2 zi1轨迹
图3 zi2轨迹
图4 zi3轨迹
图5 zi4轨迹
图2～图5中，蓝色实线表示第一个机器人的状态，橙色虚线表示第二个机器人的状态，黄色虚点线表示第三个机器人的状态，紫色点线表示第四个机器人的状态。图2描述的是所有机器人的第一个状态轨迹图。图3描述的是所有机器人的第二个状态轨迹图。图4描述的是所有机器人的第三个状态轨迹图。图5描述的是所有机器人的第四个状态轨迹图。由图2可知，z11,z21,z31,z41在3 s内达到了状态一致。由图3可知z12,z22,z32,z42在3 s内达到了状态一致。由图4可知，z13,z23,z33,z43在8 s左右达到了状态一致。由图5可知，z14,z24,z34,z44在3 s内达到了状态一致。根据上述分析可知，该仿真结果验证了控制算法的有效性。该仿真图也验证了：如果zi1,zi2,zi4收敛到非零常数，则zi3为有界函数。
3.2 有通信时延情况的仿真
设置控制器式(10)的参数ρ=1,γ=1。为了便于仿真，假设所有的通信时延对每一个系统都是常数，即τ1=τ2=τ3=τ4=τ=2.5 s，状态轨迹如图6～图9所示。
图6 zi1轨迹
图7 zi2轨迹
图8 zi3轨迹
图9 zi4轨迹
图6～图9中，蓝色实线表示第一个机器人的状态，橙色虚线表示第二个机器人的状态，黄色虚点线表示第三个机器人的状态，紫色点线表示第四个机器人的状态。图6描述的是所有机器人的第一个状态轨迹图。图7描述的是所有机器人的第二个状态轨迹图。图8描述的是所有机器人的第三个状态轨迹图。图9描述的是所有机器人的第四个状态轨迹图。控制算法要使所有机器人的相同状态趋于一致。由图6可知，z11,z21,z31,z41在15 s左右达到了状态一致。由图7，可知z12,z22,z32,z42在20 s左右达到了状态一致。由图8可知，z13,z23,z33,z43在20 s左右达到了状态一致。由图9可知，z14,z24,z34,z44在20 s左右达到了状态一致。相比没有通信时延的情况，有通信时延达到状态一致需要更长的时间。由上述分析可知，该仿真结果验证了控制算法的有效性。
4 结束语
本文针对多个非完整链式系统无领航者的一致性问题，设计了一种分布式控制器。该控制器允许通信拓扑为一般的无向图，并考虑到通信时延的存在，运用Lyapunov定理和LaSalle不变原理证明了自适应控制算法的稳定性，并用数值仿真验证了算法的有效性。控制器中共有两个自由参数，可以在处理复杂情况时进行调整，因此该控制器具有较大的实用价值。本文假设智能体之间的通信时延均为恒定值，然而实际系统中时延可能是时变的，在下一步的研究中，笔者会进一步考虑时变时延对于系统收敛性的影响。
