近世代数中某些问题的几何解释

郑雨婷 陈汇 孙美宁

近世代数又称抽象代数，其作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、矢量空间和代数。近世代数这门课程具有极高的抽象性，在一定程度上，这门课程中的很多概念是从一些具体的数学模型中抽象出的一般结构.另外，每一次抽象回到具体，能够化解一些具体问题，甚至能解决一些以前不能解决的问题。

几何学与近世代数相联系，用几何的知识如：图形变换、向量运算和空间曲面等，来解释近世代数的相关问题，将抽象的近世代数问题具体化，使学者在学习过程中更加直接明了的理解相关理论。

近世代数不同于高等代数的深化具体，更偏向于抽象。国内虽早已对其有研究，还有很大的空间等待我们去发现和思考。我们从学生的角度出发，以课本为基础，思索问题的方法更新颖。

1 研究背景

近世代数是数学系本科的一门重要专业基础课， 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。近世代数是数学与应用数学专业一门非常重要的专业必修课， 其特点是高度抽象， 逻辑性强， 推理严谨。学生普遍认为是一门难懂难学的课程， 加之课程由大学三年一期开设， 提前到二年一期， 更加加大了学生的压力。因此让近世代数变得更直观，易理解显得尤为重要。

2 研究内容

为了达到研究目的，我们主要通过参考图书馆文献，通过已学习的知识，针对确立的具体问题，将近世代数与几何思想进行转变与融合。研究内容具体如下：

1. 近世代數也是一些几何模型的抽象，群的定义引入就可以用几何对称图形

例如，欧氏平面上正交变换构成群，所以正交变换具有下列三个性质：

• 恒等变换是正交变换
• 正交变换的逆变换是正交变换
• 两个正交变换的乘积仍然是正交变换
• 近世代数的一些思想可以用过具体的几何图像得以直观的解释，比如配给的分类思想，见下例：
• 是群R关于子群H的包含r的一个陪集。对于一个给定的r，凡是可以写成2kπ+r的数都在中，它们是实数轴上相距2k的所有点组成的点集。

2.3群的图像是用平面或空间有向线段来表示群的网络图

它是19世纪数学家凯莱首先引进的，因此群的图像也称凯莱图。

例如：设G=〈a〉是3阶循环群，G={e，a，a²}。在平面上任取一点e作为起点，e是群的单位元，以标有箭头的有向线段表示右乘群G的生成元a，有向线段的终点是右乘a的结果。右乘a的逆元a^-1是沿着与箭头所指方向相反的方向移动一条有向线段。3阶循环群G=〈a〉的图像如图1所示。

循环群的图像有以下特点：

①循环群有多少个元素，他的图像上就有多少个顶点，任何一个顶点都可以作为起点表示单位元e;

②在每一个顶点处有两条线段，沿箭头方向移动一条有向线段，表示右乘生成元，沿着与箭头相反的方向一动一条有向线段，表示右乘生成元的逆元;

③图像网络采用什么形状没有特殊要求，只要不有损数学意义，可选择较美观的形状。

除以上内容，还可以在近世代数的群，环，域的不同部分，选取适当的知识点理论，对其分析研究，将理论的描述，用几何中的图形变换、向量运算和空间曲面等进行，对它的性质，特点进行描述，使抽象的理论具体化，方便应用于解决其他领域相关问题。

3 创新之处

①将近世代数中某些抽象的概念与几何图形相联系，更加突出理论中所强调的重点，加深初学者对于理论内容的理解，记忆程度，便于应用。

②从学生的角度出发，为初学者加深对抽象代数学的理解，学好这门科学提供便利途径，在教与学的过程中，使代数与几何相互联系、相互促进。

③培养学生运用代数与几何相联系的方法分析问题解决问题的能力。

4 应用前景

近世代数也是几何模型的抽象，由几何对称图形引入群的定义;近世代数的一些思想可以通过具体的几何图得以直观的解释。将近世代数与几何的相互结合与渗透，在未来近世代数的课程中，将会改变近世代数的教授方法，将代数与几何联系起来，使学生们后更直观地学习近世代数这门学科。而学生通过对近世代数的更深入地学习，将之前认为纯理论化的东西，转换为可以解决生活中实际问题的有效工具（例如，例如在墙纸装饰上结合群的知识实现图形覆盖），并且应用近世代数的视角更好的解决问题，例如，正方形的对称群问题，二元域，凯撒密码，分子同构问题等。

项目名称：近世代数中某些问题的几何解释，项目编号：L（B）2018088，项目级别：B级。

（作者单位：沈阳师范大学数学与系统科学学院）