转盘-物块模型的临界问题

摘 要：文章就常见的转盘-物块模型的临界问题，从无绳到有绳，深入浅出地进行探讨。通过高考题的引入，加深对转盘-物块模型的理解和应用，先滑动的条件只与轴的距离有关，而与质量无关。

关键词：匀速圆周运动;最大静摩擦力;绳子张力

中图分类号：G633.7

文章编号：2095-624X（2019）21-0053-02

例1.如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，A与转轴OO′的距离为l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，用ω表示圆盘转动的角速度，A恰好发生相对滑动的角速度ω是多少？

[解析]小木块A做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块A：fa=mωa2l，当fa=kmg时，ωa=√—

变式：（2014·安徽卷）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为—（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则ω的最大值是（）

A.√5rad/s B.√3rad/s

C.1.0rad/s D.0.5rad/s

[解析]：小物块最易滑动的位置，应在最低点，对滑块进行受力分析。由牛顿第二定律得μmgcos30°-mgsin30°=mω2r，解得ω=1.0 rad/s，C正确。

答案：C。

例2.（多选）（2014·新课标全国Ⅰ·20）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（）

A.b一定比a先开始滑动

B.a、b所受的摩擦力始终相等

C.ω=√—是b开始滑动的临界角速度

D.当ω=√—时，a所受摩擦力的大小为kmg

答案：AC

分析：由例1、例2可知，离轴越远，临界角速度越小，越容易先滑动，而与质量无关。

例3.（2017·河北八所重点中学联考）两个质量分别为2m和m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为L，b与转轴的距离为2L，a、b之间用长为L的强度足够大的轻绳相连，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，开始时轻绳刚好伸直但无张力，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（）

A.a比b先达到最大静摩擦力

B.a、b所受的摩擦力始終相等

C.ω=√—是b开始滑动的临界角速度

D.当ω=√—时，a所受摩擦力的大小为—

[解析]木块随圆盘一起转动，当绳子上无拉力时，b先达到最大静摩擦力，故A错误。在b的摩擦力没有达到最大前，由Ff=mω2r，a、b质量分别是2m和m，而圆周运动的半径r分别为L和2L，所以开始时a和b受到的摩擦力是相等的;当b受到的静摩擦力达到最大后，即ω>√—，对于b木块有：kmg+F=mω2·2L，对于a木块有f-F=2mω2L，联立得f=4mω2L-kmg>kmg，可知二者受到的摩擦力不一定相等，故B错误。b刚要滑动时，对b木块有kmg+F=mω02·2L，对a木块有k·2mg-F=2mω02L，联立得kmg+2kmg=4mω02L，得ω0=√—，故C错误。当ω=√—时，b未滑动，a所受摩擦力大小f=4mω2L-kmg=—，故D正确。

[答案]D

例4.如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A、B两个小物块。A的质量为mA=2kg，离轴心r1=20cm，B的质量为mB=1kg，离轴心r2=10cm，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求：

（1）当圆盘转动的角速度ω0为多少时，细线上开始出现张力？

（2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（g=10m/s2）

[解析]（1）ω较小时，A、B均由静摩擦力充当向心力，ω增大，可知F=mω2r，它们受到的静摩擦力也增大，而r1>r2，所以A受到的静摩擦力先达到最大值。ω再增大，AB间绳子开始受到拉力。

由Ffm=m1ω02r2，得：ω0=√—=√—=5rad/s

（2）ω达到ω0后，ω再增加，B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A增大的向心力超过B增加的向心力，ω再增加，B所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如ω再增加，B所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如ω再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A、B就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为ω1，绳中张力为FT，对A、B进行受力分析：

对A有Ffm1+FT=m1ω12r1，对B有FT-Ffm2=m2ω12r2

联立解得：ω1=√—=5√2rad/s=7.07rad/s

参考文献：

[1]刘苏杰.关于“水平转盘”问题[J].教育实践与研究，2005（6）.

[2]杨天才.“转盘-双物块”模型图象化处理[J].教学考试，2017（4）.

作者简介：丁艳利（1973—），女，中学一级教师，本科，研究方向：高中物理教学。