三角函数及解三角形核心考点测试卷B

■河南省平舆县第一高级中学 牛少博

一、选择题

1.已知 △ABC中，若a·b＜0，则△ABC是( )。

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.任意三角形

2.已知O是正三角形ABC内部一点，，则△O A C的面积与△O A B的面积之比是( )。

3.设，且a∥b，则锐角α为( )。

A.30° B.45°

C.60° D.75°

4.已知其 中则一定有( )。

A.a∥bB.a⊥b

C.a与b夹角为45° D .|a|=|b|

5.已知向量a=(6，-4)，b=(0，2)，c=a+λ b，若点C在函数的图像上，则实数λ=( )。

6.设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0。如果向量b1、b2、b3，满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1，2，3，则( )。

A.-b1+b2+b3=0

B.b1-b2+b3=0

C.b1+b2-b3=0

D.b1+b2+b3=0

7.设0≤θ≤2 π时，已知两个向量，则向量长度的最大值是( )。

8.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=(2 cosC-1，-2)，n=(cosC，cosC+1)。若m⊥n，且a+b=10，则△ABC周长的最小值为( )。

9.若向量a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，则a与b一定满足( )。

A.a与b的夹角等于α-β

B.a⊥b

C.a∥b

D.(a+b)⊥(a-b)

10.已知向量a=(cos25°，sin25°)，b=(sin20°，cos20°)，若t是实数，且u=a+t b，则|u|的最小值为( )。

11.O是平面上一定点，A，B，C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足，则直线A P一定通过△ABC的( )。

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

12.在平面直角坐标系x O y中，点A(5，0)。对于某个正实数k，存在函数f(x)=a x2(a＞ 0)， 使 得(λ为常数)，其中点P，Q的坐标分别为(1，f(1))，(k，f(k))，则k的取值范围为( )。

A.(2，+∞)B.(3，+∞)

C.(4，+∞)D.(8，+∞)

二、填空题

13.O是平面α上一点，A，B，C是平面α上不共线的3个点，平面α内的动点P满足，若，则的值为

14.已知向量N*)，|b|=1。则函数y=|a1+b|2+|a2+b|2+|a3+b|2+…+|a141+b|2的最大值为

15.下列各式：①|a|=a·a；②(a·b)·c=a(b·c)；③；④在任意四边形ABC D中，M为A D的中点，N为B C的中点，则(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，且a与b不共线，则(a+b)⊥(a-b)。其中正确的式子的序号为

图1

16.如图1，△ABC为等腰三角形，∠B A C=120°，A B=A C=4，以A为圆心，1为半径的圆分别交A B，A C于点E，F，P是劣弧上的一点，则的取值范围是

三、解答题

17.已知向量

(1)求cos(α-β)的值；

18.设函数f(x)=a·b，其中向量a=(m，cosx)，b=(1+sinx，1)，x∈R，且

(1)求实数m的值；

(2)求函数f(x)的最小值。

19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别 为

20.设向量的值；，已知函数f(x)=a·(a+b)。

(1)求函数f(x)的最大值与最小正周期；

21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

(1)求sinC的值；

(2)当a=2，2 sinA=sinC时，求b及c的长。

图2

22.如图2，已知O P Q是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点。四边形ABC D是扇形的内接矩形，记∠C O P=θ。

(1)求当角θ取何值时，矩形ABC D的面积最大，并求出这个最大值。

(2)当矩形ABC D的面积为时，求角θ的值。